Satz von Bolyai-Gerwien

Der Satz von Bolyai-Gerwien ist ein Satz aus der Geometrie. Er besagt, dass alle ebenen Polygone gleichen Flächeninhalts zerlegungsgleich sind, also in endlich viele kongruente Dreiecke zerlegt werden können.

Das Quadrat lässt sich in 7 Dreiecke zerlegen, die anders zusammengesetzt ein gleichseitiges Dreieck ergeben. (Die einfarbigen Vierecke lassen sich jeweils in 2 Dreiecke zerlegen)

Geschichte

Der ungarische Mathematiker Wolfgang Bolyai und Paul Gerwien (damals Leutnant in einem preußischen Infanterieregiment)[1] bewiesen den Satz im Jahr 1833. Wolfgang Bolyai veröffentlichte seine Untersuchungen 1832/33 und bemühte sich auch den Fall beliebig krummlinig begrenzter Flächen aufzunehmen.[2] Der schottische Mathematiker William Wallace soll die Lösung früher gefunden haben (1807), weswegen der Satz auch als Satz von Wallace-Bolyai-Gerwien bekannt ist.

Verallgemeinerungen

Die analoge Aussage für drei- und höherdimensionale Polyeder trifft nicht zu (Drittes Hilbertsches Problem). Polyeder gleichen Volumens mit unterschiedlichen Dehn-Invarianten lassen sich nicht in kongruente Simplizes zerlegen.

Sonstiges

Ende des 19. Jahrhunderts waren Zerlegungen von Polygonen in flächengleiche andere Polygone ein häufiges Thema populärer Rätsel.[3]

Literatur

Paul Gerwien: Zerschneidung jeder beliebigen Anzahl von gleichen geradlinigen Figuren in dieselben Stücke, J. reine angew. Math., Band 10, 1833, S. 228–234.
Ian Stewart From Here to Infinity, Oxford University Press 1996, S. 169f
Max Zacharias Elementargeometrie, Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Band 3-1-2, S. 917
Hugo Hadwiger, Paul Glur Zerlegungsgleichheit ebener Polygone, Elemente der Math, Bd. 6, 1951, S. 97–106

Weblinks

Bolyai-Gerwien Theorem bei cut the knot
Polygons – interaktive Demo des Satzes von Bolyai-Gerwien
Der Satz von Bolyai-Gerwien und Hilberts drittes Problem auf YouTube von Edmund Weitz

Einzelnachweise und Anmerkungen

22. Preußisches Infanterieregiment. Außerdem Lehrer im Königlich Preußischen Kadettenkorps. Er veröffentlichte noch einen weiteren Aufsatz in Crelles Journal (im selben Band, S. 235), in dem er den Satz auf die Kugel ausdehnt, und außerdem mit H. von Holleben Aufgaben-Systeme und Sammlungen aus der ebenen Geometrie zu einem selbstständigen Unterricht in der Analysis geordnet und durch Gesetze vorbereitet, 2 Bände, Berlin, Reimer 1831, 1832. H. von Holleben war ebenfalls Leutnant und Lehrer im Kadettenkorps.
Siehe Zacharias Elementarmathematik, Enzykl. Math. Wiss., S. 917
Eine solche Zerlegung ist in Ian Stewart From Here to Infinity, S. 170 dargestellt

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[1] 22. Preußisches Infanterieregiment. Außerdem Lehrer im Königlich Preußischen Kadettenkorps. Er veröffentlichte noch einen weiteren Aufsatz in Crelles Journal (im selben Band, S. 235), in dem er den Satz auf die Kugel ausdehnt, und außerdem mit H. von Holleben Aufgaben-Systeme und Sammlungen aus der ebenen Geometrie zu einem selbstständigen Unterricht in der Analysis geordnet und durch Gesetze vorbereitet, 2 Bände, Berlin, Reimer 1831, 1832. H. von Holleben war ebenfalls Leutnant und Lehrer im Kadettenkorps.

[2] Siehe Zacharias Elementarmathematik, Enzykl. Math. Wiss., S. 917

[3] Eine solche Zerlegung ist in Ian Stewart From Here to Infinity, S. 170 dargestellt