Satz von Artin-Rees

Der Satz v​on Artin-Rees, benannt n​ach Emil Artin u​nd David Rees, i​st ein Satz a​us der kommutativen Algebra. Er trifft e​ine Aussage über Produkte v​on Potenzen v​on Idealen e​ines noetherschen Rings u​nd endlich erzeugten Moduln. Der Satz k​ann verwendet werden, u​m eine gewisse Topologie e​ines Untermoduls a​ls Relativtopologie nachzuweisen.

Formulierung des Satzes

Es sei ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R}$ ein Ideal in einem kommutativen, noetherschen Ring ${\displaystyle R}$. Weiter seien ${\displaystyle M}$ ein endlich erzeugter ${\displaystyle R}$-Modul und ${\displaystyle N\subset M}$ ein Untermodul. Dann gibt es eine Zahl ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, so dass für alle ${\displaystyle i\geq k}$ gilt:[1]

${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{i}M\cap N={\mathfrak {a}}^{i-k}({\mathfrak {a}}^{k}M\cap N)}$.

Anwendungen

Ist ${\displaystyle M}$ ein beliebiger ${\displaystyle R}$-Modul, so definieren die Potenzen

${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{1}M\supset {\mathfrak {a}}^{2}M\supset {\mathfrak {a}}^{3}M\supset \ldots }$

eine Nullumgebungsbasis in ${\displaystyle M}$ und damit eine Topologie, die sogenannte ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$-adische Topologie. In dieser ist eine Menge ${\displaystyle U\subset M}$ genau dann offen, wenn es zu jedem ${\displaystyle x\in U}$ ein ${\displaystyle i\in N}$ gibt mit ${\displaystyle x+{\mathfrak {a}}^{i}M\subset U}$. In der Situation obigen Satzes tragen also ${\displaystyle M}$ und der Untermodul ${\displaystyle N}$ die ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$-adische Topologie, ${\displaystyle N}$ trägt als Teilmenge aber auch die Relativtopologie der ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$-adischen Topologie von ${\displaystyle M}$. Mit Hilfe des Satzes von Artin-Rees ist es nun nicht mehr schwer, die Gleichheit dieser beiden Topologien auf ${\displaystyle N}$ zu zeigen.

Der Satz v​on Artin-Rees k​ann auch d​azu verwendet werden, d​en Durchschnittssatz v​on Krull z​u beweisen.

Einzelnachweise

1. Siegfried Bosch: Algebraic Geometry and Commutative Algebra. Springer-Verlag, 2012, ISBN 1-4471-4828-2, 2.3. Lemma 1.