Satz vom primitiven Element

Der Satz vom primitiven Element ist ein mathematischer Satz aus der Algebra, der hinreichende Bedingungen dafür angibt, dass eine Körpererweiterung eine einfache Körpererweiterung ist. Sind ${\displaystyle K\subseteq L}$ Körper, dann wird die Körpererweiterung einfach genannt, wenn sie durch Adjunktion eines einzelnen Elements erzeugt werden kann. Ein solches, im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmtes Element ${\displaystyle a\in L}$ mit ${\displaystyle L=K(a)}$, wird primitives Element genannt. Der Satz vom primitiven Element wurde von Galois vollständig bewiesen und findet sich in einer Publikation[1] von Abel aus dem Jahre 1829.[2]

Satz

Es g​ibt zwei Sätze, d​ie als Satz v​om primitiven Element bezeichnet werden, w​obei der zweite Satz e​ine Folgerung a​us dem ersten ist.[3][4]

• Eine Körpererweiterung ${\displaystyle L/K}$ ist einfach, wenn ${\displaystyle L}$ von der Form ${\displaystyle L=K(a,c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n})}$ mit einem über ${\displaystyle K}$ algebraischen Element ${\displaystyle a}$ und über ${\displaystyle K}$ separablen Elementen ${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}}$ ist.
• Jede endliche separable Körpererweiterung ist einfach.

Bedeutung

Insbesondere sind endliche Galois-Erweiterungen von dieser Form und daher einfach. Ist ${\displaystyle L=K(a)}$ eine solche Erweiterung, so ist ein Element der Galoisgruppe, das heißt ein ${\displaystyle K}$-Automorphismus ${\displaystyle \sigma }$ von ${\displaystyle L}$, bereits eindeutig durch den Wert ${\displaystyle \sigma (a)}$ bestimmt. Mit Hilfe eines primitiven Elementes kann auch die Galoisgruppe eines Polynoms bzw. einer Körpererweiterung bestimmt werden. Daher resultiert die Bedeutung dieses Satzes in der Galoistheorie.[5]

Beispiele

• ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$ ist eine Körpererweiterung über ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$. Ein mögliches primitives Element ${\displaystyle \textstyle t\in \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$ ist

${\displaystyle t={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$,

denn mit

${\displaystyle t^{2}=5+2{\sqrt {6}}}$, ${\displaystyle \quad t^{3}=11{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}\quad }$ und ${\displaystyle \quad t^{4}=49+20{\sqrt {6}}}$

ergibt sich, dass t Nullstelle des Polynoms ${\displaystyle \textstyle x^{4}-10x^{2}+1}$ und damit algebraisch über ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$ ist.

Außerdem erhält man die Gleichungen:

${\displaystyle t^{3}-9t=2{\sqrt {2}}\quad }$ und ${\displaystyle \quad t^{3}-11t=-2{\sqrt {3}}}$.

Damit lassen sich ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}}$ und ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {3}}}$ durch Polynome mit der Variablen t ersetzen:

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}(t^{3}-9t)}$ und ${\displaystyle {\sqrt {3}}=-{\tfrac {1}{2}}(t^{3}-11t)}$.

Also ist

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})}$

und {1, t, t², t³} eine Basis von ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$ als Vektorraum über ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$. Eine andere mögliche Basis ist {${\displaystyle \textstyle 1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}}$}, d. h.

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \}}$ .

Es handelt sich also um eine algebraische Körpererweiterung vom Grad vier.

• Das Polynom ${\displaystyle \textstyle x^{4}-5x^{2}+6=(x^{2}-2)(x^{2}-3)}$ hat die Nullstellen ${\displaystyle \textstyle x_{1}={\sqrt {2}},\quad x_{2}=-{\sqrt {2}},\quad x_{3}={\sqrt {3}},\quad x_{4}=-{\sqrt {3}}}$ und hat somit ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$ als Zerfällungskörper. Wie oben gezeigt, ist ${\displaystyle \textstyle t_{1}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$ ein primitives Element und die vier Nullstellen können somit als Polynome p₁, p₂, p₃, p₄ mit der Variablen t₁ dargestellt werden:

${\displaystyle x_{1}=p_{1}(t_{1})={\tfrac {1}{2}}(t_{1}^{3}-9t_{1})}$,

${\displaystyle x_{2}=p_{2}(t_{1})=-{\tfrac {1}{2}}(t_{1}^{3}-9t_{1})}$,

${\displaystyle x_{3}=p_{3}(t_{1})=-{\tfrac {1}{2}}(t_{1}^{3}-11t_{1})}$,

${\displaystyle x_{4}=p_{4}(t_{1})={\tfrac {1}{2}}(t_{1}^{3}-11t_{1})}$,

Das primitive Element t₁ ist – wie oben berechnet – Nullstelle des über ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$ irreduziblen Polynoms ${\displaystyle \textstyle x^{4}-10x^{2}+1=\left(x^{2}-5\right)^{2}-24}$. Die anderen Nullstellen dieses Polynoms erhält man durch zweimaliges Wurzelziehen – zusammen mit der Beziehung ${\displaystyle 5\pm 2{\sqrt {6}}=({\sqrt {2}}\pm {\sqrt {3}})^{2}}$:

${\displaystyle t_{2}=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\quad t_{3}={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\quad t_{4}=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}$.

Ersetzt man nun in den Polynomen p₁, ... p₄ die Variable t₁ durch t₂, t₃ oder t₄, so ergeben sich wiederum die Nullstellen x₁, x₂, x₃, x₄ des Ausgangspolynoms, allerdings in einer anderen Reihenfolge. Diese Permutationen der Nullstellen entsprechen jeweils einer Operation eines Elementes der Galoisgruppe auf diesen Nullstellen.[6]

Einsetzen von t₁ liefert die Identität, die übrigen Beziehungen ergeben sich durch Nachrechnen:

${\displaystyle p_{1}(t_{1})=x_{1},\quad p_{2}(t_{1})=x_{2},\quad p_{3}(t_{1})=x_{3},\quad p_{4}(t_{1})=x_{4},\quad \Longrightarrow \quad \sigma _{1}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)}$,

${\displaystyle p_{1}(t_{2})=x_{2},\quad p_{2}(t_{2})=x_{1},\quad p_{3}(t_{2})=x_{3},\quad p_{4}(t_{2})=x_{4},\quad \Longrightarrow \quad \sigma _{2}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{2},x_{1},x_{3},x_{4}\right)}$,

${\displaystyle p_{1}(t_{3})=x_{1},\quad p_{2}(t_{3})=x_{2},\quad p_{3}(t_{3})=x_{4},\quad p_{4}(t_{3})=x_{3},\quad \Longrightarrow \quad \sigma _{3}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3}\right)}$,

${\displaystyle p_{1}(t_{4})=x_{2},\quad p_{2}(t_{4})=x_{1},\quad p_{3}(t_{4})=x_{4},\quad p_{4}(t_{4})=x_{3},\quad \Longrightarrow \quad \sigma _{4}:\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\mapsto \left(x_{2},x_{1},x_{4},x_{3}\right)}$.

{${\displaystyle \textstyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4}}$} ist die Galoisgruppe als Permutationsgruppe der Nullstellen, als Gruppe der Körperautomorphismen ergibt sie sich wie folgt:

Unter ${\displaystyle \textstyle \sigma _{2}}$ werden ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}}$ und ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$ vertauscht werden, entsprechendes gilt bei ${\displaystyle \textstyle \sigma _{3}}$ für ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {3}}}$ und ${\displaystyle \textstyle -{\sqrt {3}}}$. Unter ${\displaystyle \textstyle \sigma _{4}}$ ändert sich bei beiden Wurzeln das Vorzeichen. Die Elemente der Galoisgruppe als Körperautomorphismen sind somit:

${\displaystyle \sigma _{1}':a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mapsto a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}}$,

${\displaystyle \sigma _{2}':a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mapsto a-b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}}$,

${\displaystyle \sigma _{3}':a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mapsto a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}}$,

${\displaystyle \sigma _{4}':a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mapsto a-b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}}$.

Man sieht, dass unter ${\displaystyle \textstyle \sigma _{2}'}$ neben dem Grundkörper ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$ der Körper ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}$ elementweise fest bleibt. Bei ${\displaystyle \textstyle \sigma _{3}'}$ und ${\displaystyle \textstyle \sigma _{4}'}$ sind die Fixkörper ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ bzw. ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {6}})}$.

Weil das Ausgangspolynom ${\displaystyle \textstyle x^{4}-5x^{2}+6=(x^{2}-2)(x^{2}-3)}$ nicht irreduzibel über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ist, operiert die Galoisgruppe nicht transitiv auf der Menge der Nullstellen dieses Polynoms: es gibt zum Beispiel kein Element der Galoisgruppe, das die Nullstelle ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ auf die Nullstelle ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ abbildet.

• Die algebraisch Konjugierten des primitiven Elementes ${\displaystyle t_{1}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$, also die Nullstellen

${\displaystyle t_{2}=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$, ${\displaystyle t_{3}={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}$ und ${\displaystyle t_{4}=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}$,

sind ebenfalls primitive Elemente, d. h. es gilt:

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} (-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} (-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})}$.[7]

Einzelnachweise

1. Niels Henrik Abel: Mémoire sur une classe particulière d'equations résolubles algébriquement, J. reine angew. Math. Band 4 (1829), Seiten 131–156
2. Helmut Koch: Einführung in die klassische Mathematik I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-16665-3, Kap. 7.5: Der Satz vom primitiven Element
3. Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, S. 259–260
4. Kurt Meyberg, Algebra II, Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Satz 6.9.17
5. Kurt Meyberg, Algebra II, Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Kapitel 7.2: Bestimmung einiger Galois-Gruppen
6. Nieper-Wißkirchen: Galoissche Theorie. Universität Augsburg, S. 126, Proposition 4.8., PDF (Memento vom 15. Juli 2019 im Internet Archive)
7. Nieper-Wißkirchen: Galoissche Theorie. Universität Augsburg 2013, S. 119, Proposition 4.4., PDF (Memento vom 15. Juli 2019 im Internet Archive)