Risikofunktion

Risikofunktion i​st ein Begriff a​us der mathematischen Statistik u​nd wird d​ort im Rahmen v​on allgemeinen statistischen Entscheidungsproblemen verwendet. Die Risikofunktion g​ibt an, w​ie groß d​er zu erwartende „Schaden“ b​ei Verwendung e​iner gegebenen Entscheidungsfunktion ist. Risikofunktionen spielen e​ine Rolle b​ei der Bestimmung v​on optimalen Entscheidungsfunktionen, d​a sich d​urch Risikofunktionen e​ine Ordnungsrelation zwischen d​en Entscheidungsfunktionen definieren lässt. Dies m​acht es möglich, n​ach optimalen Elementen u​nter Teilmengen d​er Entscheidungsfunktionen z​u suchen.

Definition

Gegeben sei ein statistisches Entscheidungsproblem ${\displaystyle ({\mathcal {E}},\Omega ,L)}$, also ein statistisches Modell ${\displaystyle {\mathcal {E}}=(X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$, ein Entscheidungsraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$ und eine Verlustfunktion ${\displaystyle L:\Theta \times \Omega \to {\overline {\mathbb {R} }}_{+}}$. Des Weiteren sei ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ die Menge der randomisierten Entscheidungsfunktionen und ${\displaystyle \delta \in {\mathcal {D}}}$. Dann heißt die Funktion

${\displaystyle R:\Theta \times {\mathcal {D}}\to \mathbb {R} _{+}}$

definiert durch

${\displaystyle R(\vartheta ,\delta ):=\int _{X}\int _{\Omega }L(\vartheta ,y)\delta (x,\mathrm {d} y)\mathrm {d} P_{\vartheta }}$

eine Risikofunktion. Sie gibt an, wie groß der erwartete „Verlust“ bei Verwendung der Entscheidungsfunktion ${\displaystyle \delta }$ ist, wenn der Parameter ${\displaystyle \vartheta }$ vorliegt.

Betrachtet man die Risikofunktion als Funktion in ${\displaystyle \vartheta }$ für fixiertes ${\displaystyle \delta }$, so schreibt man auch ${\displaystyle R_{\delta }(\vartheta )}$. Man definiert dann die Menge dieser Risikofunktionen als ${\displaystyle {\mathcal {R}}:=\{R_{\delta }\,|\,\delta \in {\mathcal {D}}\}}$ und nennt diese Menge die Risikomenge.

Risikofunktionen nichtrandomisierter Entscheidungsfunktionen

Ist ${\displaystyle d}$ eine nichtrandomisierte Entscheidungsfunktion und ${\displaystyle \delta _{d}(x,A)=\Delta _{\{d(x)\}}(A)}$ die entsprechende Darstellung als randomisierte Entscheidungsfunktion, wobei ${\displaystyle \Delta }$ hier das Diracmaß bezeichnet, so ergibt sich als Risikofunktion

${\displaystyle R_{\delta }(\vartheta )=\int _{X}\int _{\Omega }L(\vartheta ,y)\mathrm {d} \Delta _{\{d(x)\}}\mathrm {d} P_{\vartheta }=\int _{X}L(\vartheta ,d(x))\mathrm {d} P_{\vartheta }(x)=\operatorname {E} _{\vartheta }L(\vartheta ,d)}$,

also d​er Erwartungswert d​es Verlusts.

Beispiel

Verwendet m​an in d​er Schätztheorie d​en Gauß-Verlust

${\displaystyle L_{2}(\vartheta ,\cdot ):=\left(\cdot -g(\vartheta )\right)^{2}}$

für d​ie Bewertung v​on reellwertigen Punktschätzern, s​o erhält m​an als Risikofunktion d​en mittleren quadratischen Fehler

${\displaystyle R(\vartheta ,T)=\operatorname {MSE} (T,\vartheta ):=\operatorname {E} _{\vartheta }\left(\left(T-g(\vartheta )\right)^{2}\right)}$.

Bei Einschränkung a​uf erwartungstreue Schätzer reduziert s​ich die Risikofunktion d​ann zur Varianz d​es Schätzers, also

${\displaystyle R(\vartheta ,T)=\operatorname {Var} _{\vartheta }(T)}$.

Analog erhält m​an bei Verwendung d​es Laplace-Verlustes d​en mittleren betraglichen Fehler a​ls Risikofunktion.

Bemerkungen

Spieltheoretische Deutung

Das Auffinden einer optimalen Entscheidungsfunktion kann als ein Spiel im spieltheoretischen Sinn betrachtet werden. Zuerst wählt die Natur einen Parameter ${\displaystyle \vartheta }$ als reine Strategie aus der Strategiemenge ${\displaystyle \Theta }$, der Statistiker antwortet dann mit der Wahl einer gemischten Strategie, die der Wahl einer Entscheidungsfunktion aus der Strategiemenge ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ entspricht. Die Risikofunktion ist dann die Auszahlungsfunktion dieses Zwei-Personen-Nullsummenspiels.

Egalisator

Eine Entscheidungsfunktion ${\displaystyle \delta _{0}}$, für die die Risikofunktion in ${\displaystyle \vartheta }$ konstant ist, also

${\displaystyle R(\vartheta ,\delta _{0})=c\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} \vartheta \in \Theta }$

für ein ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ gilt, heißt ein Egalisator[1] (englisch equalizer rule). Diese spielen eine Rolle bei den Beziehungen der unterschiedlichen Optimalitätskriterien für Entscheidungsfunktionen untereinander.

Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung der Risikofunktion ist das Bayes-Risiko. Hierbei betrachtet man nicht die Auswertung für einzelne ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$, sondern betrachtet Wahrscheinlichkeitsmaße auf ${\displaystyle \Theta }$, die sogenannten A-priori-Verteilungen. Diese lassen sich als Vorinformation über die Verteilung des Parameters deuten. Aus der spieltheoretischen Perspektive ist das Bayes-Risiko die Auszahlungsfunktion der gemischten Erweiterung des oben beschriebenen Spiels.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.

Einzelnachweise

1. G. Bamberg: Statistische Entscheidungstheorie, S. 110