Riesz-Mittel

Das Riesz-Mittel i​st eine bestimmte Mittelwert-Bildung für Werte i​n eine Reihe i​n der Mathematik. Sie wurden v​on Marcel Riesz 1911 a​ls Verbesserung z​um Cesàro-Mittel eingeführt.[1][2] Das Riesz-Mittel sollte n​icht mit d​em Bochner-Riesz-Mittel o​der dem Strong-Riesz-Mittel verwechselt werden.

Definition

Gegeben sei eine Reihe ${\displaystyle \{s_{n}\}}$. Das Riesz-Mittel der Reihe ist definiert durch

${\displaystyle s^{\delta }(\lambda )=\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }s_{n}}$

Manchmal w​ird ein verallgemeinertes Riesz-Mittel definiert als

${\displaystyle R_{n}={\frac {1}{\lambda _{n}}}\sum _{k=0}^{n}(\lambda _{k}-\lambda _{k-1})^{\delta }s_{k}}$

Dabei sind die ${\displaystyle \lambda _{n}}$ eine Folge mit ${\displaystyle \lambda _{n}\to \infty }$ und mit ${\displaystyle \lambda _{n+1}/\lambda _{n}\to 1}$, wenn ${\displaystyle n\to \infty }$. Die anderen ${\displaystyle \lambda _{n}}$ sind beliebig.

Das Riesz-Mittel wird oft verwendet, um die Summierbarkeit von Folgen zu untersuchen. Üblicherweise untersuchen Sätze zur Summierbarkeit der ${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{n}}$ für Folgen ${\displaystyle \{a_{n}\}}$. Normalerweise ist eine Folge summierbar, wenn der Grenzwert ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}}$ vorhanden ist oder der Grenzwert ${\displaystyle \lim _{\delta \to 1,\lambda \to \infty }s^{\delta }(\lambda )}$ existiert, obgleich die exakten Sätze zur Summierbarkeit oft noch zusätzliche Bedingungen voraussetzen.

Spezialfälle

Sei ${\displaystyle a_{n}=1}$ für alle ${\displaystyle n}$. Dann gilt

${\displaystyle \sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}\zeta (s)\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}.}$

Dabei muss ${\displaystyle c>1}$ sein, ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ist die Gammafunktion und ${\displaystyle \zeta (s)}$ ist die Riemannsche Zeta-Funktion. Es kann gezeigt werden, dass die Potenzreihe

${\displaystyle \sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}}$

für ${\displaystyle \lambda >1}$ konvergent ist. Es ist anzumerken, dass das Integral von der Form einer inversen Mellin-Transformation ist.

Ein anderer interessanter Fall, der mit der Zahlentheorie verknüpft ist, entsteht durch Setzen von ${\displaystyle a_{n}=\Lambda (n)}$, wobei ${\displaystyle \Lambda (n)}$ die Mangoldt-Funktion ist. Dann ist

${\displaystyle \sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.}$

Erneut m​uss c > 1 sein. Die Summe über ρ i​st die Summe über d​ie Nullen d​er Riemannschen Zeta-Funktion und

${\displaystyle \sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\,}$

ist konvergent für ρ > 1.

Die Integrale, d​ie hierbei auftreten ähneln d​em Nörlund-Rice-Integral. Sie hängen über Perron's-Formel zusammen.

Siehe auch

• Mittelwert

Literatur

1. M. Riesz: Comptes Rendus, 12. Juni 1911 (englisch)
2. G.H. Hardy and J.E. Littlewood: Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes, Acta Mathematica, 41 (1916) pp.119–196. (englisch)

• I.I. Volkov: Riesz summation method, in Hazewinkel, Michiel: Encyclopaedia of Mathematics, Springer, 2001, ISBN 978-1556080104 (englisch)