Reinhardt-Gebiet

In der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher bezeichnet ein Reinhardt-Gebiet (auch Reinhardt'sches Gebiet oder Reinhardt'scher Körper genannt, benannt nach Karl Reinhardt) ein Gebiet in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, welches als Vereinigung komplexer ${\displaystyle n}$-Tori aufgefasst werden kann.

Definition

Sei ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ offen und zusammenhängend. ${\displaystyle \Omega }$ heißt Reinhardt-Gebiet, falls für jedes ${\displaystyle z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \Omega }$ und für alle ${\displaystyle \vartheta _{1},\vartheta _{2},\dots ,\vartheta _{n}\in \mathbb {R} }$ auch ${\displaystyle \left(e^{i\vartheta _{1}}\cdot z_{1},\;e^{i\vartheta _{2}}\cdot z_{2},\;\dots ,e^{i\vartheta _{n}}\cdot z_{n}\right)\in \Omega }$ liegt.

Ein Reinhardt-Gebiet ${\displaystyle \Omega }$ heißt vollkommen, wenn mit ${\displaystyle z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \Omega \cap {\mathbb {C} ^{*}}^{n}}$ auch der Polyzylinder ${\displaystyle \left\{w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\,:\,\left|w_{j}\right|<\left|z_{j}\right|\right\}}$ in ${\displaystyle \Omega }$ enthalten ist.

Graphische Darstellung

Ein Reinhardt-Gebiet ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ hat eine eindeutige Entsprechung in ${\displaystyle {\mathbb {R} _{0}^{+}}^{n}}$, wobei jeder Punkt in ${\displaystyle z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \Omega }$ auf die Absolutbeträge seiner Koordinaten ${\displaystyle (\left|z_{1}\right|,\left|z_{2}\right|,\dots ,\left|z_{n}\right|)}$ abgebildet wird. Umgekehrt entspricht dann jeder Punkt in ${\displaystyle {\mathbb {R} _{0}^{+}}^{n}}$ einem komplexen ${\displaystyle n}$-Torus. Dadurch können auch Reinhardt-Gebiet in den höherdimensionalen Räumen ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ bzw. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ noch graphisch im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ bzw. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ dargestellt werden.

Beispiele

• komplex ${\displaystyle n}$-dimensionaler Polyzylinder ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\,:\,\left|z_{j}\right|<\rho _{j}\;(j=1,2,\dots n)\right\}}$ mit Radien ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n}>0}$
• komplex ${\displaystyle n}$-dimensionaler Ball ${\displaystyle \left\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\,:\,\left|z_{1}-a_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}-a_{2}\right|^{2}+\dots +\left|z_{n}-a_{n}\right|^{2}=\rho ^{2}\right\}}$ um ${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}$ mit Radius ${\displaystyle \rho >0}$.

Bedeutung in der Funktionentheorie

Die Bedeutung d​er Reinhardt-Gebiete l​iegt darin, d​ass sie d​ie richtigen Gebiete sind, u​m Potenz- bzw. Laurent-Reihen z​u betrachten. Das Konvergenzgebiet e​iner Potenzreihe i​st ein vollkommenes Reinhardt'sches Gebiet. Allerdings i​st nicht j​edes vollkommene Reinhardt'sche Gebiet a​uch Konvergenzgebiet e​iner Potenzreihe.

Reinhardt'sche Gebiete spielen a​uch eine Rolle b​ei der Fortsetzung holomorpher Funktionen. Grundlegend i​st dabei d​er folgende Satz:

Sei ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ ein Reinhardt-Gebiet, und ${\displaystyle f\colon \Omega \rightarrow \mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Dann existiert eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{\alpha \in \mathbb {Z} ^{n}}a_{\alpha }\cdot z^{\alpha }}$, welche auf kompakten Teilmengen von ${\displaystyle \Omega }$ absolut und gleichmäßig gegen die Funktion ${\displaystyle f}$ konvergiert.

Gilt zudem, dass für jedes ${\displaystyle j\in \left\{1,2,\dots ,n\right\}}$ ein Punkt ${\displaystyle z\in \Omega }$ existiert, dessen ${\displaystyle j}$-te Koordinate 0 ist, dann ist die Laurent-Reihe sogar eine Potenzreihe und die holomorphe Funktion kann auf dem Konvergenzgebiet dieser Reihe eindeutig fortgesetzt werden.

Literatur

• Hans Grauert, Klaus Fritzsche: Einführung in die Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher. Springer-Verlag, Berlin 1974, ISBN 3-540-06672-1 u. ISBN 0-387-06672-1