Satz vom regulären Wert

Der Satz v​om regulären Wert i​st ein Resultat a​us der Differentialtopologie. Auf Englisch heißt dieser Satz Submersion Theorem. Mit Hilfe d​es Satzes i​st es möglich, konstruktiv Untermannigfaltigkeiten z​u einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit z​u finden.

Satz

Es seien ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei ${\displaystyle f\colon M\to N}$ eine differenzierbare Abbildung. Außerdem sei ${\displaystyle n}$ ein regulärer Wert von ${\displaystyle f}$. Dann ist die Menge

${\displaystyle U:=f^{-1}(n)=\{m\in M\mid f(m)=n\}}$

eine abgeschlossene, differenzierbare Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle M}$. Für den Tangentialraum gilt dann

${\displaystyle T_{m}U=\operatorname {Kern} \,\,(Df(m))}$

wobei ${\displaystyle Df(m)}$ das Differential von ${\displaystyle f}$ im Punkt ${\displaystyle m}$ bezeichne.

Falls ${\displaystyle N}$ endlichdimensional ist, so gilt für die Kodimension von ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \operatorname {codim} (U)=\dim(N)}$.

Dies folgt aus der Aussage über den Tangentialraum. Falls ${\displaystyle M}$ noch zusätzlich endlichdimensional ist, kann man die Dimension von ${\displaystyle U}$ mit Hilfe der Formel

${\displaystyle \dim(U)=\dim(M)-\operatorname {codim} (U)=\dim(M)-\dim(N)}$

berechnen.

Beispiel

Mit Hilfe des Satzes kann man zeigen, dass die ${\displaystyle n}$-dimensionale Einheitssphäre ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ eine Untermannigfaltigkeit des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ist. Es sei

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R} }$ definiert durch ${\displaystyle f(x)=\|x\|^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}^{2}}$.

Dann gilt ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}=f^{-1}(1)}$. Es muss nur noch gezeigt werden, dass 1 ein regulärer Wert ist. Dies sieht man durch

${\displaystyle Df(x)=D\|x\|^{2}=2x^{t}}$.

Der Operator ${\displaystyle (.)^{t}}$ steht für die Matrixtransposition. Nur für ${\displaystyle x=0}$ wird der Term ${\displaystyle 2x^{t}}$ null. Für alle anderen ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n+1}}$ gilt für den Rang

${\displaystyle \operatorname {Rg} (2x^{t})=1}$.

Also ist insbesondere das Differential für ${\displaystyle \|x\|=1}$ surjektiv und damit ist ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ eine reelle Untermannigfaltigkeit.

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7, S. 118f.
• R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis and Applications (= Applied Mathematical Sciences 75). Springer, New York NY 1988, ISBN 0-387-96790-7.