Reguläre Untergruppe einer Permutationsgruppe

Eine reguläre Untergruppe e​iner Permutationsgruppe i​st in d​er Gruppentheorie e​ine Untergruppe e​iner Permutationsgruppe, d​ie die Eigenschaft besitzt, d​ass sich z​wei beliebige Elemente d​er Trägermenge d​er Permutationsgruppe a​uf eindeutige Weise d​urch eine Permutation a​us dieser Untergruppe ineinander überführen lassen.

Ein klassisches Problem d​er Theorie endlicher Gruppen i​st die Bestimmung a​ller (endlichen) primitiven Permutationsgruppen, d​ie eine reguläre Untergruppe besitzen. Liebeck-Praeger-Saxl lösten dieses Problem für fast-einfache Gruppen.

Definition

Es sei ${\displaystyle G}$ eine auf einer Menge ${\displaystyle \Omega }$ wirkende Permutationsgruppe. Eine Untergruppe ${\displaystyle U\subset G}$ heißt regulär, wenn es zu je zwei Elementen ${\displaystyle u,v\in \Omega }$ ein eindeutiges Element ${\displaystyle g\in U}$ mit ${\displaystyle g(u)=v}$ gibt.

Beispiele

Ist ${\displaystyle G}$ die volle Permutationsgruppe über ${\displaystyle \Omega =\{0,\ldots ,n-1\}}$ mit ${\displaystyle n>2}$, so ist die Untergruppe ${\displaystyle U=G}$ nicht regulär, denn für die in Zyklenschreibweise angegebenen Permutationen ${\displaystyle (0,1)}$ und ${\displaystyle (0,1,2)}$ gilt

${\displaystyle (0,1)(0)=1}$ und ${\displaystyle (0,1,2)(0)=1}$.

Das heißt, es gibt mehr als nur ein ${\displaystyle g\in U}$ mit ${\displaystyle g(0)=1}$.

Die Untergruppe

${\displaystyle U=\{(1),(0,1)\}}$

ist auch nicht regulär, denn es gibt kein ${\displaystyle g\in U}$ mit ${\displaystyle g(1)=2}$.

Die von der zyklischen Permutation ${\displaystyle (0,1,\ldots ,n-1)}$ erzeugte Untergruppe ${\displaystyle U}$ ist regulär, denn zu ${\displaystyle i,j\in \Omega }$ ist

${\displaystyle (0,1,\ldots ,n-1)^{j-i}\in U}$

das eindeutig bestimmte Element aus ${\displaystyle U}$, das ${\displaystyle i}$ auf ${\displaystyle j}$ abbildet. Das wird sofort klar, wenn man beachtet, dass ${\displaystyle (0,1,\ldots ,n-1)^{k}}$ alle Elemente aus ${\displaystyle \Omega =\{0,\ldots ,n-1\}}$ zyklisch um ${\displaystyle k}$ Positionen verschiebt

Literatur

• Liebeck, Martin W.; Praeger, Cheryl E.; Saxl, Jan: Regular subgroups of primitive permutation groups. Mem. Amer. Math. Soc. 203 (2010), no. 952, ISBN 978-0-8218-4654-4