Reeb-Graph

Der Reeb-Graph i​st ein topologischer Graph benannt n​ach dem französischen Mathematiker Georges Reeb (1920–1993). Er h​at seinen Ursprung i​n der Morse-Theorie.

Definition

Sei ${\displaystyle f\colon M\rightarrow \mathbb {R} }$ eine stetige skalare Funktion über der kompakten Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$. Der Reeb-Graph von ${\displaystyle M}$ bezüglich ${\displaystyle f}$ ist der Quotientenraum von ${\displaystyle M}$, der von der Äquivalenzrelation ${\displaystyle x\sim y}$ induziert wird. Es gilt ${\displaystyle x\sim y}$ genau dann, wenn

• ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ und
• ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ in derselben Zusammenhangskomponente von ${\displaystyle f^{-1}(f(x))}$ liegen.

Das heißt, Knoten entstehen an Punkten, an denen sich die Topologie von ${\displaystyle M}$ bezüglich ${\displaystyle f}$ ändert. Diese werden auch als kritische Punkte bezeichnet.

Literatur

• G. Reeb: Sur les points singuliers d’une forme de Pfaff complètement intégrable ou d’une fonction numérique. C. R. Acad. Sci. Paris 222, 847–849 (1946)