Reduzierter Ring

Ein reduzierter Ring i​st ein Ring, d​er außer d​em Nullelement k​eine weiteren nilpotenten Elemente enthält. (Nilpotente Elemente ergeben entsprechend potenziert null.) Reduzierte Ringe spielen e​ine Rolle i​n der kommutativen Algebra u​nd der algebraischen Geometrie, d​as sind Teilgebiete d​er Mathematik. Ein reduziertes Schema i​st ein Schema, dessen Halme reduziert sind.

Dieser Artikel beschäftigt s​ich mit kommutativer Algebra. Insbesondere s​ind alle betrachteten Ringe kommutativ u​nd haben e​in Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente a​uf Einselemente ab. Für weitere Details s​iehe Kommutative Algebra.

Definitionen

Reduzierter Ring

Ist ${\displaystyle R}$ ein Ring, so ist ${\displaystyle R}$ ein reduzierter Ring, falls für alle ${\displaystyle r\in R}$

${\displaystyle r^{n}=0\Leftrightarrow r=0}$

Das i​st äquivalent zu:

• Das Nilradikal des Ringes ist das Nullideal:

${\displaystyle {\sqrt {(0)}}=(0)}$

• Für alle ${\displaystyle r\in R}$ gilt:

${\displaystyle r^{2}=0\Leftrightarrow r=0}$

Reduziertes Ideal

Ein Ideal ${\displaystyle I}$ eines Ringes ${\displaystyle R}$ ist ein reduziertes Ideal, wenn gilt:

${\displaystyle {\sqrt {I}}=I}$

Reduziertes Schema

Ein Schema ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ist reduziert, wenn für jede offene Menge ${\displaystyle U\subset X}$ der Ring ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ keine nilpotenten Elemente enthält. Das ist äquivalent dazu, dass für alle ${\displaystyle x\in X}$ die lokalen Ringe (Halme):

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{x}=\operatorname {lim} _{V\ni x}{\mathcal {F}}(V)}$

reduziert sind.

Eigenschaften

• Ist ${\displaystyle R}$ noethersch, so gilt:

${\displaystyle R}$ ist reduziert ist äquivalent dazu, dass in der Primärzerlegung seines Nullideals nur Primideale als Primärkomponenten auftreten (die minimalen Primideale).

• Reduziertheit ist eine lokale Eigenschaft:

Ein Ring ${\displaystyle R}$ ist genau dann reduziert, wenn ${\displaystyle R_{m}}$ für alle maximalen Ideale reduziert ist.

Beispiele

• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ und alle Polynomringe über Körpern sind reduziert.
• Der Ring ${\displaystyle R/{\sqrt {(0)}}}$ ist reduziert.
• Jeder nullteilerfreie Ring ist reduziert.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ enthält das nilpotente Element ${\displaystyle 2}$, ist also nicht reduziert.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }$ ist reduziert.
• Der Ring ${\displaystyle K[X]/(X^{2})}$ ist nicht reduziert, er enthält das nilpotente Element ${\displaystyle X}$.
• Ein Schema ist genau dann integer, wenn es irreduzibel und reduziert ist.

Literatur

• Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6.
• Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9.
• Brüske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3411140411.
• H. Matsumura, Commutative algebra, 1980, ISBN 0-8053-7026-9.