Reduzierter Ring

Ein reduzierter Ring i​st ein Ring, d​er außer d​em Nullelement k​eine weiteren nilpotenten Elemente enthält. (Nilpotente Elemente ergeben entsprechend potenziert null.) Reduzierte Ringe spielen e​ine Rolle i​n der kommutativen Algebra u​nd der algebraischen Geometrie, d​as sind Teilgebiete d​er Mathematik. Ein reduziertes Schema i​st ein Schema, dessen Halme reduziert sind.

Dieser Artikel beschäftigt s​ich mit kommutativer Algebra. Insbesondere s​ind alle betrachteten Ringe kommutativ u​nd haben e​in Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente a​uf Einselemente ab. Für weitere Details s​iehe Kommutative Algebra.

Definitionen

Reduzierter Ring

Ist ein Ring, so ist ein reduzierter Ring, falls für alle

Das i​st äquivalent zu:

  • Für alle gilt:

Reduziertes Ideal

Ein Ideal eines Ringes ist ein reduziertes Ideal, wenn gilt:

Reduziertes Schema

Ein Schema ist reduziert, wenn für jede offene Menge der Ring keine nilpotenten Elemente enthält. Das ist äquivalent dazu, dass für alle die lokalen Ringe (Halme):

reduziert sind.

Eigenschaften

  • Ist noethersch, so gilt:
ist reduziert ist äquivalent dazu, dass in der Primärzerlegung seines Nullideals nur Primideale als Primärkomponenten auftreten (die minimalen Primideale).
  • Reduziertheit ist eine lokale Eigenschaft:
Ein Ring ist genau dann reduziert, wenn für alle maximalen Ideale reduziert ist.

Beispiele

  • und alle Polynomringe über Körpern sind reduziert.
  • Der Ring ist reduziert.
  • Jeder nullteilerfreie Ring ist reduziert.
  • enthält das nilpotente Element , ist also nicht reduziert.
  • ist reduziert.
  • Der Ring ist nicht reduziert, er enthält das nilpotente Element .
  • Ein Schema ist genau dann integer, wenn es irreduzibel und reduziert ist.

Literatur

  • Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6.
  • Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9.
  • Brüske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3411140411.
  • H. Matsumura, Commutative algebra, 1980, ISBN 0-8053-7026-9.
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