Quantilsregression

Als Quantilsregression w​ird eine Methode z​um Schätzen d​er Parameter e​ines linearen Regressionsmodells bezeichnet. Im Gegensatz z​ur Kleinste-Quadrate-Schätzung, d​ie den Erwartungswert d​er Zielgröße schätzt, i​st die Quantilsregression d​azu geeignet, i​hre Quantile z​u schätzen. Die Quantilsregression i​st somit e​ine Möglichkeit d​urch die Betrachtung anderer Eigenschaften d​er Zielgrößenverteilung, d​en dem klassischen linearen Modell unterliegenden Fokus a​uf den Erwartungswert d​er Zielgröße aufzugeben.[1] Die Median-Regression stellt e​inen Spezialfall d​er Quantilsregression dar.

Beispiel für die Quantilsregression

Optimierungsproblem

Pinball-Verlustfunktion mit ${\displaystyle \tau =0{,}9}$. Für ${\displaystyle \varepsilon <0}$ beträgt der Fehler ${\displaystyle -0{,}1\varepsilon }$, für ${\displaystyle \varepsilon \geq 0}$ beträgt er ${\displaystyle 0{,}9\varepsilon }$.

Sei ${\displaystyle Y}$ eine reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion ${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)}$, dann entspricht das ${\displaystyle \tau }$-Quantil von ${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle Q_{Y}(\tau )=F_{Y}^{-1}(\tau )=\inf \left\{y:F_{Y}(y)\geq \tau \right\}}$

mit ${\displaystyle \tau \in (0,1).}$

Seien ${\displaystyle (\mathbf {x} _{i},y_{i})}$ mit ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ beobachtete Paare von unabhängigen Variablen ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ und zugehörigen abhängigen Variablen ${\displaystyle y_{i}}$. Das Regressionsmodell wird als ${\displaystyle y_{i}=\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}+\varepsilon _{i}}$ beschrieben. Die optimalen Regressionsparameter können durch die folgende Minimierung bestimmt werden:[2][3]

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}_{\tau }=\arg \min _{\beta _{\tau }}\sum _{i=1}^{n}w_{\tau }(y_{i},\eta _{i,\tau })|y_{i}-\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{\tau }|}$.

Hierbei entspricht ${\displaystyle \eta _{i,\tau }=\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{\tau }}$ dem linearen Prädiktor. Die Verlustfunktion entspricht der geneigten absoluten Abweichung:

${\displaystyle w_{\tau }(y_{i},\eta _{i,\tau })={\begin{cases}1-\tau &{\textrm {falls}}\quad y_{i}<\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{\tau }\\\tau &{\textrm {falls}}\quad y_{i}\geq \mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{\tau }\end{cases}}.}$

Aufgrund i​hres Aussehens w​ird die Verlustfunktion a​uch pinball loss genannt.[4]

Das Optimierungsproblem k​ann mit Methoden d​er linearen Programmierung, bspw. m​it dem Simplex-Verfahren, gelöst werden.

Literatur

• David J. Petersen et al.: Perspektiven einer pluralen Ökonomik. Springer Vieweg. Springer Fachmedien, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-16144-6, S. 238–240.

Einzelnachweise

1. David J. Petersen et al.: Perspektiven einer pluralen Ökonomik. Springer Vieweg. Springer Fachmedien, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-16144-6, S. 238.
2. Roger Koenker, Gilbert Basset Jr.: Regression Quantiles. In: Econometrica: journal of the Econometric Society. 1978, S. 33–50.
3. Roger Koenker, Kevin F. Hallock: Quantile regression. In: Journal of economic perspectives. Band 15, Nr. 4, 2001, S. 143–156.
4. Ingo Steinwart, Andreas Christmann: Estimating conditional quantiles with the help of the pinball loss. In: Bernoulli. Band 17, Nr. 1, Februar 2011, ISSN 1350-7265, S. 211–225, doi:10.3150/10-BEJ267, arxiv:1102.2101 (projecteuclid.org [abgerufen am 11. Juli 2020]).