Quantenlogarithmus

Der Quantenlogarithmus ist eine Funktion der mathematischen Physik. Er ist eine Quantenversion des klassischen Logarithmus und kommt bei der Verallgemeinerung vom klassischen Dilogarithmus zum Quantendilogarithmus vor. Quantendilogarithmen werden bei der Untersuchung integrabler Quantenfeldtheorien auf Gittern verwendet.

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Definition

Es sei . Der Quantenlogarithmus

ist definiert durch

,

wobei eine entlang der reellen Achse von nach verlaufende und den Nullpunkt von oben umlaufende Kurve ist, zum Beispiel .

(Für jede Kurve mit diesen Eigenschaften ergibt Integration dieses Integranden über die Kurve denselben Wert.)

Eigenschaften

Im semiklassischen Limit hat man für den Quantenlogarithmus den Grenzwert

.

Für erhält man

.

Der Quantenlogarithmus hat eine Reihe von Symmetrieeigenschaften:

.

Weiter gelten die Beziehungen

und man hat die Summenformel

.

Die 1-Form ist meromorph, sie hat einfache Polstellen mit Residuum in den Punkten mit .

Literatur

  • V. V. Fock, A. B. Goncharov: The quantum dilogarithm and representations of quantum cluster varieties. Invent. Math. 175 (2009), no. 2, 223–286. (Kapitel 4.1)
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