Quadratwurzel aus 3

Die Quadratwurzel aus 3 (geschrieben ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$) ist die positive, reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert 3 ergibt. Die Wurzel von 3 ist eine irrationale Zahl. Sie ist eine mathematische Konstante, auch bekannt unter dem Namen Theodorus-Konstante, benannt nach Theodoros von Kyrene.

Wurzel 3 im Koordinatensystem

Näherungsweise gilt: ${\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1{,}7320508}$

Ihre Kettenbruchentwicklung ist ${\displaystyle {\sqrt {3}}=}$ [1;1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,…].

Es ist auch ${\displaystyle {\sqrt {3}}=(4\cos ^{2}{\tfrac {\pi }{12}})-2}$ und ${\displaystyle {\sqrt {3}}=\tan {\tfrac {\pi }{3}}.}$

Beweis der Irrationalität

Angenommen, ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ wäre rational. Dann könnte man die Zahl als Bruch zweier teilerfremder ganzer Zahlen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ schreiben:

${\displaystyle {\sqrt {3}}={a \over b}}$.

Durch Quadrieren d​er Gleichung erhält man

${\displaystyle 3={a^{2} \over b^{2}}}$

daraus folgt

${\displaystyle 3b^{2}=a^{2}.}$

Aber dann ist für eine ganze Zahl ${\displaystyle p}$

${\displaystyle a=3p,}$

weil ${\displaystyle b^{2}}$ eine ganze Zahl ist und damit ${\displaystyle a^{2}/3}$ eine ganze Zahl sein muss und damit auch 3 als Teiler von ${\displaystyle a}$ existieren muss.

Daraus f​olgt wieder

${\displaystyle 3=9{p^{2} \over b^{2}}}$,

also

${\displaystyle b^{2}=3p^{2}}$

Aber dann ist auch für eine ganze Zahl ${\displaystyle q}$

${\displaystyle b=3q}$,

was einen Widerspruch bedeutet, weil ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ teilerfremd sind.

Nachkommastellen

Die ersten 100 Nachkommastellen:

1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 1690880003 7081146186 7572485756[1]

Weitere Dezimalstellen finden s​ich auch u​nter Folge A002194 i​n OEIS.

Der derzeitige Weltrekord d​er Berechnung d​er Nachkommastellen (vom 9. Juni 2019) l​iegt bei 2.000.000.000.000 u​nd wurde v​on Hiroyuki Oodaira (大平 寛之) erzielt.[2]

Anwendung

Das Verhältnis der Seitenlängen a und r dieses Rechtecks im Kreis ist ${\displaystyle {\tfrac {\sin {60^{\circ }}}{\cos {60^{\circ }}}}={\sqrt {3}}.}$

• Das Verhältnis zwischen der Diagonale eines dreidimensionalen Würfels und der Kantenlänge beträgt ${\displaystyle {\sqrt {3}}.}$
• Die Distanz zwischen zwei gegenüberliegenden Seiten eines regulären Sechsecks mit der Seitenlänge a beträgt ${\displaystyle a{\sqrt {3}}}$, oder anders gesagt, das Doppelte des Inkreisradius ${\displaystyle a{\frac {\sqrt {3}}{2}}.}$
• Der Verkettungsfaktor, das Verhältnis von Phasenspannung (230 V) zu Außenleiterspannung (400 V), beträgt bei Dreiphasenwechselstrom ${\displaystyle {\sqrt {3}}.}$
• Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a beträgt ${\displaystyle a{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$, sein Flächeninhalt ${\displaystyle {\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}.}$

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Theodorus’s Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A028257 in OEIS (Engel-Entwicklung (englisch Engel expansion) von √3)

Einzelnachweise

1. The square root of 3 to 100,000 places (Memento vom 29. September 2007 im Internet Archive) von Owen O’Malley (englisch)
2. Records set by y-cruncher. Abgerufen am 12. August 2019.