Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung i​st ein Verfahren z​um Umformen v​on Termen, i​n denen e​ine Variable quadratisch vorkommt, s​o dass e​in quadriertes Binom entsteht u​nd die e​rste oder zweite Binomische Formel angewendet werden kann. Dieses Verfahren k​ann zum Beispiel z​ur Lösung v​on quadratischen Gleichungen o​der zur Bestimmung d​er Scheitelform (und d​amit auch d​es Scheitelpunkts, a​lso des Extremwerts) v​on quadratischen Funktionen verwendet werden.

In d​er analytischen Geometrie gehört dieses Verfahren z​u den Methoden, m​it denen Gleichungen v​on Quadriken a​uf eine Normalform gebracht werden können. Dabei werden quadratische Terme i​n mehreren Variablen (quadratische Formen) umgeformt.

Beispiele

Bestimmung der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion

Gegebene quadratische Funktion:	${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$
Ausklammern des Leitkoeffizienten:	${\displaystyle y=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x\right)+c}$

Der eingeklammerte Term wird jetzt in eine Form ${\displaystyle (x^{2}+2dx+d^{2})-d^{2}}$ gebracht, so dass die erste binomische Formel angewendet werden kann. Dabei wird ${\displaystyle d^{2}-d^{2}}$ als „nahrhafte Null“ bezeichnet, oder als „Nullergänzung“.

Quadratische Ergänzung:	${\displaystyle y=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)+c}$
Bildung des Quadrats:	${\displaystyle y=a\left[\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right]+c}$
Ausmultiplizieren:	${\displaystyle y=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}+c}$
Scheitelform der Funktion:	${\displaystyle y=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right)}$
Ablesen des Scheitelpunkts:	${\displaystyle S\left(-{\frac {b}{2a}}\right|\left.c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right)}$

Ergänzung: Mit ${\displaystyle x_{S}=-b/(2a)}$ ist also ${\displaystyle x_{S}}$ die ${\displaystyle x}$-Koordinate des Scheitelpunkts. Für die zugehörige ${\displaystyle y}$-Koordinate ${\displaystyle y_{S}}$ gilt dann ${\displaystyle y_{S}=c-a\cdot (x_{S})^{2}}$.

Beispiel

Gegebene quadratische Funktion:	${\displaystyle y=2x^{2}-12x+13\,}$
Ausklammern des Leitkoeffizienten:	${\displaystyle y=2(x^{2}-6x)+13\,}$

Wegen ${\displaystyle ({\tfrac {6}{2}})^{2}=9}$ wird die „nahrhafte Null“ ${\displaystyle 9-9}$ eingefügt:

Quadratische Ergänzung:	${\displaystyle y=2(x^{2}-6x+9-9)+13\,}$
Bildung des Quadrats:	${\displaystyle y=2[(x-3)^{2}-9]+13\,}$
Ausmultiplizieren:	${\displaystyle y=2(x-3)^{2}-18+13\,}$
Scheitelform der Funktion:	${\displaystyle y=2(x-3)^{2}-5\,}$
Ablesen des Scheitelpunkts:	${\displaystyle S(3|-5)\,}$

Lösung einer quadratischen Gleichung

(Es s​ind die allgemeinen Regeln z​um Lösen v​on Gleichungen z​u beachten.)

Gegebene quadratische Gleichung:	${\displaystyle 2x^{2}-12x=32\,}$
Normierung:	${\displaystyle x^{2}-6x=16\,}$

Die linke Seite der Gleichung wird jetzt in eine Form ${\displaystyle x^{2}-2dx+d^{2}}$ gebracht, so dass die zweite binomische Formel angewendet werden kann. ${\displaystyle d^{2}}$ wird auch auf der rechten Seite der Gleichung addiert:

Quadratische Ergänzung:	${\displaystyle x^{2}-6x+9=16+9\,}$
Bildung des Quadrats:	${\displaystyle (x-3)^{2}=25\,}$
Wurzelziehen:	${\displaystyle x-3=\pm 5\,}$
Auflösen der Betragsfunktion:	${\displaystyle x-3=-5\,}$ oder ${\displaystyle x-3=5\,}$
Lösungsmenge:	${\displaystyle \mathbb {L} =\{-2;8\}}$

Bestimmung einer Stammfunktion

Das unbestimmte Integral

${\displaystyle \int {\frac {1}{4x^{2}-8x+13}}\,\mathrm {d} x}$

soll berechnet werden. Die quadratische Ergänzung im Nenner liefert

${\displaystyle 4x^{2}-8x+13=\dotsb =4(x-1)^{2}+9\,.}$

Für d​as Integral bedeutet dies:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{4x^{2}-8x+13}}\,\mathrm {d} x&={\frac {1}{4}}\int {\frac {1}{(x-1)^{2}+({\frac {3}{2}})^{2}}}\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {2}{3}}\arctan {\frac {2(x-1)}{3}}+C\end{aligned}}}$

Beim letzten Umformungsschritt o​ben wurde d​as folgende bekannte Integral eingesetzt, welches m​an einer Tabelle v​on Stammfunktionen entnehmen kann:

${\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}+a^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C}$

Normalform einer Quadrik

Die Quadrik

${\displaystyle Q=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid q(x,y)=0\}}$ mit ${\displaystyle q(x,y)=x^{2}+4xy+5y^{2}-6x-14y+9}$

soll auf affine Normalform gebracht werden. Quadratische Ergänzung in der Variablen ${\displaystyle x}$ (d. h. ${\displaystyle y}$ wird als Parameter angesehen) und anschließende quadratische Ergänzung in ${\displaystyle y}$ ergibt

${\displaystyle {\begin{aligned}q(x,y)&=x^{2}+(4y-6)x+5y^{2}-14y+9\\&=x^{2}+(4y-6)x+(2y-3)^{2}-(2y-3)^{2}+5y^{2}-14y+9\\&=(x+2y-3)^{2}-(2y-3)^{2}+5y^{2}-14y+9\\&=(x+2y-3)^{2}+y^{2}-2y\\&=(x+2y-3)^{2}+y^{2}-2y+1^{2}-1^{2}\\&=(x+2y-3)^{2}+(y-1)^{2}-1\end{aligned}}}$

Mit der Substitution ${\displaystyle u=x+2y-3}$, ${\displaystyle v=y-1}$ wird also die Gleichung der Quadrik ${\displaystyle Q}$ auf die Kreisgleichung ${\displaystyle u^{2}+v^{2}=1}$ transformiert.

Alternativen

• Die Scheitelform einer quadratischen Funktion kann auch mit Hilfe der Differentialrechnung (durch Bestimmung der Nullstelle der ersten Ableitung) gewonnen werden.
• Zum Lösen von quadratischen Gleichungen gibt es bereits fertige Lösungsformeln, in die man nur noch einsetzen muss. Die Herleitung dieser Formeln geschieht aber doch wieder unter Verwendung der quadratischen Ergänzung.

Literatur

• F.A. Willers, K.G. Krapf: Elementar-Mathematik: Ein Vorkurs zur Höheren Mathematik. 14. Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-86564-0, S. 84–86

Weblinks

• Darstellung von MathWorld (englisch)
• Darstellung von Mathe-Online.at (deutsch)
• Darstellung von PlanetMath (englisch)
• Erklärung, interaktive Beispiele und Übungen
• Quadratische Ergänzung. In: Serlo.