Punkt des gleichen Umwegs

Der Punkt des gleichen Umwegs ist ein besonderer Punkt in einem Dreieck ${\displaystyle ABC}$. Dieser Punkt ${\displaystyle P}$ ist dadurch gekennzeichnet, dass der Umweg von ${\displaystyle A}$ über ${\displaystyle P}$ nach ${\displaystyle B}$ ebenso groß ist wie der Umweg von ${\displaystyle A}$ über ${\displaystyle P}$ nach ${\displaystyle C}$ und der Umweg von ${\displaystyle B}$ über ${\displaystyle P}$ nach ${\displaystyle C}$. Hierbei versteht man unter der Länge des Umwegs die Länge der Strecke, die man zusätzlich zur kürzesten Verbindung zurücklegt und es gilt dementsprechend:[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}&|AP|+|PC|-|AC|\\=&|AP|+|PB|-|AB|\\=&|BP|+|PC|-|BC|\end{aligned}}}$.

isoperimetrischer Punkt Q, Inkreismittelpunkt I, Gergonne-Punkt G, Punkt gleichen Umwegs P
gleiche Umwege:
${\displaystyle h_{A}+h_{C}-b=h_{A}+h_{B}-c=h_{B}+h_{C}-a}$Harmonische Verwandtschaft:${\displaystyle {\frac {|QI|}{|PI|}}={\frac {|QG|}{|PG|}}}$

Eindeutigkeit

Der Punkt des gleichen Umwegs hat die Kimberling-Nummer X(176). Er ist der einzige Punkt mit der obigen Eigenschaft, wenn für die Winkel ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ des Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ die folgende Ungleichung erfüllt ist:[2]

${\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\tan \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\leq 2}$.

Ist d​ie Ungleichung n​icht erfüllt, s​o besitzt a​uch der isoperimetrische Punkt d​ie Eigenschaft d​es gleichen Umwegs.

Eigenschaften

• Der Punkt des gleichen Umwegs ist harmonisch verwandt mit dem isoperimetrischen Punkt, dem Mittelpunkt des Inkreises und dem Gergonne-Punkt und kollinear zu diesen drei Punkten.[3]
• Die Umwege sind gleich dem Durchmesser des inneren Soddy-Kreises.[3]
• Die baryzentrischen Koordinaten sind:

${\displaystyle \left(a+{\frac {\Delta }{s-a}}:b+{\frac {\Delta }{s-b}}:c+{\frac {\Delta }{s-c}}\right)}$.

Hierbei steht ${\displaystyle \Delta }$ für den Flächeninhalt und ${\displaystyle s}$ für den halben Umfang des Dreiecks ${\displaystyle ABC}$.[3]

• Die trilinearen Koordinaten sind:[1]

${\displaystyle \left(\sec \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+1:\sec \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+1:\sec \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)+1\right)}$.

Weblinks

• isoperimetric and equal detour points – interaktive Illustration auf Geogebratube

Einzelnachweise

1. Isoperimetric point and equal detour point in der Encyclopedia of Triangle Centers (abgerufen 7. Februar)
2. M. Hajja, P. Yff: The isoperimetric point and the point(s) of equal detour in a triangle. In: Journal of Geometry, November 2007, Band 87, Heft 1–2, S. 76–82, https://doi.org/10.1007/s00022-007-1906-y
3. N. Dergiades: The Soddy circles. In: Forum Geometricorum, Band 7, S. 191–197, 2007