Pseudorapidität

Die Pseudorapidität ${\displaystyle \eta }$ (eta) ist eine räumliche Koordinate, die in der experimentellen Teilchenphysik verwendet wird, um den Winkel eines Vektors relativ zur Strahlachse anzugeben. Sie wird gegenüber der Angabe des Polarwinkels ${\displaystyle \theta }$ bevorzugt, weil bei Hadron-Hadron-Kollisionen der Fluss der erzeugten Teilchen pro Pseudorapiditäts-Intervall etwa konstant ist.

Gegenüberstellung von Polarwinkel ${\displaystyle \theta }$ und Pseudorapidität ${\displaystyle \eta }$ für einige beispielhafte Werte.
Als Vorwärtsrichtung bezeichnet man den Winkelbereich mit großen Werten von ${\displaystyle \eta }$ .

Die Pseudorapidität i​st definiert als

${\displaystyle \eta =-\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right].}$

Für ein Teilchen mit Impuls ${\displaystyle {\vec {p}}}$ (und ${\displaystyle \left|{\vec {p}}\right|=p}$ ) lässt sich dies umschreiben in:

${\displaystyle \eta =\operatorname {artanh} (p_{L}/p)={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {p+p_{L}}{p-p_{L}}}\right),}$

worin

• ${\displaystyle \operatorname {artanh} }$ die Areatangens-hyperbolicus-Funktion ist und
• der Longitudinalimpuls ${\displaystyle p_{L}}$ die Impulskomponente entlang der Strahlachse.

In der Hochenergienäherung, d. h. für ein Teilchen mit der Energie ${\displaystyle E}$ , dessen Masse ${\displaystyle m}$ gegenüber seinem Impuls ${\displaystyle p}$ vernachlässigbar ist, ${\displaystyle m\ll p\Rightarrow E\approx p}$ , ist die Pseudorapidität numerisch in etwa gleich der Rapidität

${\displaystyle \eta \approx y,}$

die i​n der experimentellen Teilchenphysik definiert w​ird als

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {E+p_{L}}{E-p_{L}}}\right).}$

Zum Vergleich: d​ie originale Rapidität gemäß d​er speziellen Relativitätstheorie ist

${\displaystyle \vartheta ={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {E+p}{E-p}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right),}$

worin ${\displaystyle \beta =v/c}$ das Verhältnis der Teilchengeschwindigkeit ${\displaystyle v}$ zur Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ ist.

Die Form des differentiellen Wirkungsquerschnitts ${\displaystyle d\sigma /dy}$ ist invariant unter einem Lorentz-Boost. Das Gleiche gilt in guter Näherung auch für die Pseudorapidität, nur ist diese leichter zu messen: Nicht die Masse des Teilchens muss ermittelt werden, sondern lediglich seine Flugrichtung durch den Detektor.