Prozess mit stationären Zuwächsen

Der Prozess m​it stationären Zuwächsen, a​uch Prozess m​it stationären Inkrementen genannt, i​st ein Begriff a​us der Theorie d​er stochastischen Prozesse, e​inem Teilgebiet d​er Wahrscheinlichkeitstheorie. Anschaulich h​at ein Prozess stationäre Zuwächse, w​enn die Änderung d​es Prozesses i​n einem festen Zeitschritt s​ich nicht i​m Laufe d​er Entwicklung d​es Prozesses ändert. Beispiele für Prozesse m​it stationären Zuwächsen s​ind der Lévy-Prozess u​nd damit a​uch der Poisson- u​nd der Wiener-Prozess.

Definition

Ein reellwertiger stochastischer Prozess ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T}}$ mit Indexmenge ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$, die abgeschlossen bezüglich Addition ist, heißt ein Prozess mit stationären Zuwächsen genau dann, wenn für beliebige ${\displaystyle p,q,r\in T}$ die Verteilung der Zufallsvariablen

${\displaystyle Y_{1}=X_{p+q+r}-X_{q+r}}$

mit d​er Verteilung d​er Zufallsvariablen

${\displaystyle Y_{2}=X_{p+r}-X_{r}}$

übereinstimmt. Ist ${\displaystyle 0\in T}$, so genügt es ${\displaystyle r=0}$ zu setzen.

Beispiel

Betrachte als Beispiel die symmetrische Irrfahrt auf ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, also den stochastischen Prozess, der definiert ist durch

${\displaystyle X_{0}=0}$

und ${\displaystyle X_{n}=\sum _{i=1}^{n}Z_{i}}$

für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, wobei die ${\displaystyle Z_{i}}$ unabhängige Rademacher-verteilte Zufallsvariablen sind. Es gilt also ${\displaystyle P(Z_{n}=-1)=P(Z_{n}=1)={\tfrac {1}{2}}}$.

Wegen ${\displaystyle T=\mathbb {N} }$ ist demnach ${\displaystyle 0\in T}$, es genügt also ${\displaystyle r=0}$ zu setzen. Es folgt

${\displaystyle Y_{1}=\sum _{i=1}^{p+q}Z_{i}-\sum _{i=1}^{q}Z_{i}=\sum _{i=q+1}^{p+q}Z_{i}}$

und

${\displaystyle Y_{2}=\sum _{i=1}^{p}Z_{i}-X_{0}}$.

Sowohl ${\displaystyle Y_{1}}$ als auch ${\displaystyle Y_{2}}$ sind demnach die Summe von ${\displaystyle p}$ unabhängigen Rademacher-verteilten Zufallsvariablen und haben somit dieselbe Verteilung. Also ist die symmetrische Irrfahrt auf ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ein Prozess mit stationären Zuwächsen.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.