Projektive Basis

Eine projektive Basis ist in der Mathematik eine Menge von Punkten eines -dimensionalen projektiven Raums, von denen je projektiv unabhängig sind. Projektive Basen werden in der projektiven Geometrie zur Charakterisierung von Projektivitäten und zur Definition projektiver Koordinaten verwendet.

In der projektiven Ebene bilden vier projektiv unabhängige Punkte eine projektive Basis

Definition

Ein -Tupel von Punkten eines projektiven Raums über einem -Vektorraum heißt projektiv unabhängig, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft:

  • Es gibt linear unabhängige Vektoren mit für .
  • Jedes -Tupel von Vektoren aus mit für ist linear unabhängig.
  • Für die Dimension des Verbindungsraums der Punkte gilt .

Ein -Tupel von Punkten eines projektiven Raums heißt projektive Basis des Raums, wenn je Punkte projektiv unabhängig sind. Es gilt dann .[1]

Spezialfälle

  • : drei Punkte auf einer projektiven Geraden bilden genau dann eine projektive Basis, wenn sie paarweise verschieden sind.
  • : vier Punkte auf einer projektiven Ebene bilden genau dann eine projektive Basis, wenn keine drei davon auf einer Geraden liegen. Die vier Punkte bestimmen also ein vollständiges Viereck.
  • : fünf Punkte in einem dreidimensionalen projektiven Raum bilden genau dann eine projektive Basis, wenn keine vier davon in einer Ebene liegen.

Projektive Standardbasis

Die projektive Standardbasis im projektiven Standardraum besteht aus den von den Standard-Basisvektoren des Koordinatenraums erzeugten Punkten

,

zusammen m​it dem Einheitspunkt

.[2]

In homogenen Koordinaten ergeben s​ich beispielsweise folgende projektiven Standardbasen:

  • In der projektiven Gerade über einem Körper bilden die Punkte und die projektive Standardbasis.
  • In der projektiven Ebene über einem Körper bilden die Punkte und die projektive Standardbasis.
  • Im -dimensionalen projektiven Raum über einem Körper bilden die Punkte und die projektive Standardbasis.

Verwendung

Ist eine beliebige projektive Basis eines projektiven Raums , dann gibt es eine Basis von , sodass

gilt.[2] Sind nun und zwei projektive Räume gleicher Dimension mit projektiven Basen und , dann gibt es genau eine projektive Abbildung , sodass

für gilt.[2] Demnach ist eine projektive Abbildung zwischen projektiven Räumen gleicher Dimension durch Angabe der Bilder der projektiven Basispunkte eindeutig charakterisiert. Solche Abbildungen lassen sich daher durch Matrizen der Größe beschreiben. Weiter lassen sich in einem projektiven Raum mit der projektiven Basis mit Hilfe der projektiven Abbildung

homogene projektive Koordinaten definieren.[3]

Literatur

  • Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-322-96417-5, S. 142.

Einzelnachweise

  1. Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, S. 142.
  2. Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, S. 143.
  3. Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 3. Auflage. Springer, 2013, S. 144.
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