Poröse-Medien-Gleichung

Die Poröse-Medien-Gleichung (auch englisch a​ls porous medium equation bezeichnet) i​st eine nichtlineare degenerierte parabolische partielle Differentialgleichung. Sie besitzt d​ie Form

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u^{m}}$,

worin ${\displaystyle m>1}$ ist und ${\displaystyle \Delta$ :=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}} den räumlichen Laplace-Operator bezeichnet.

Die Poröse-Medien-Gleichung w​ird beispielsweise verwendet, u​m den Fluss e​ines idealen Gases i​n einem homogenen porösen Medium z​u beschreiben. In diesem Falle i​st dann d​ie Dichte d​es Gases e​ine Lösung d​er Poröse-Medien-Gleichung.

Sie wird auch gelegentlich als nichtlineare Wärmeleitungsgleichung bezeichnet, da man diese bei Einsetzen von ${\displaystyle m=1}$ erhalten würde. Die Wärmeleitungsgleichung besitzt jedoch unphysikalische Eigenschaften, insbesondere eine unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit. Durch die Degeneriertheit (${\displaystyle m>1}$) erhalten die Lösungen aber wesentlich andere Eigenschaften, nämlich beispielsweise eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit (englisch: finite speed of propagation).

Literatur

• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 1999, ISBN 0-8218-0772-2 (Graduate Studies in Mathematics 19).
• Juan Luis Vázquez: The Porous Medium Equation. Mathematical theory. Clarendon Press, Oxford 2007, ISBN 978-0-19-856903-9 (Oxford Mathematical Monographs).