Zentrierte Polygonalzahl

Eine zentrierte Polygonalzahl i​st eine Zahl, z​u der s​ich ein regelmäßiges Polygon (Vieleck) i​n einem bestimmten Muster u​nd mit e​iner entsprechenden Zahl a​n Steinen l​egen lässt. Das Legemuster beginnt m​it einem einzelnen Stein i​m Mittelpunkt d​es Polygons. Um diesen Zentrumsstein werden weitere Polygone gelegt, w​obei sich d​eren Seitenlängen v​on innen n​ach außen jeweils u​m eins erhöhen. Abhängig v​on der Anzahl d​er Seiten spricht m​an beispielsweise v​on zentrierten Dreieckszahlen, zentrierten Quadratzahlen, zentrierten Fünfeckszahlen, zentrierten Sechseckszahlen, u​nd so weiter. Aufgrund i​hrer Verwandtschaft m​it einer geometrischen Figur zählen d​ie zentrierten Polygonalzahlen z​ur Klasse d​er figurierten Zahlen. Eine andere Art, Zahlen a​uf Polygone zurückzuführen, stellen d​ie (dezentralen) Polygonalzahlen dar.

Beispiele

• 
  Die 19 ist die vierte zentrierte Dreieckszahl.
• 
  Die 25 ist die vierte zentrierte Quadratzahl.
• 
  Die 31 ist die vierte zentrierte Fünfeckszahl.
• 
  Die 37 ist die vierte zentrierte Sechseckszahl.

Berechnung

Herleitung der Formel: Das Sechseck für die fünfte zentrierte Sechseckzahl wird in sechs gleichseitige Dreiecke mit Seitenlänge 4 geteilt, dabei bleibt der noch mittlere Kreis übrig.

Die ${\displaystyle n}$-te zentrierte ${\displaystyle k}$-Eckszahl berechnet sich nach der Formel

${\displaystyle 1+{\frac {kn(n-1)}{2}}}$.

Alternativ kann man die ${\displaystyle n}$-te zentrierte ${\displaystyle k}$-Eckszahl auch mit Hilfe der ${\displaystyle (n-1)}$-ten Dreieckszahl ${\displaystyle \Delta _{n-1}}$ nach der Formel

${\displaystyle 1+k\cdot \Delta _{n-1}}$

berechnen.

Neben einer anschaulichen Erklärung lässt sich die Formel auch algebraisch beweisen. Nach dem angegebenen Bildungsprinzip, dem Zeichnen von ${\displaystyle k}$-Ecken mit um eins steigender Seitenlänge um einen Anfangspunkt, lässt sich die ${\displaystyle n}$-te ${\displaystyle k}$-Eckzahl durch

${\displaystyle 1+\sum _{i=2}^{n}{(k\cdot (i-1))}}$

ausdrücken.

${\displaystyle {\begin{aligned}PZ_{n}&=1+\sum _{i=2}^{n}{(k\cdot (i-1))}\\&=1+(k\cdot 1+k\cdot 2+\dotsb +k\cdot (n-1))\\&=1+k(1+2+\dotsb +(n-1))\\&=1+k\cdot {\frac {n(n-1)}{2}}\\&=1+k\cdot \Delta _{n-1}\end{aligned}}}$.

Literatur

• Lancelot Hogben: Mathematik für alle. Eine Einführung in die Wissenschaft der Zahlen und Figuren. Neu überarbeitete Ausgabe. Pawlak, Herrsching 1985, ISBN 3-88199-208-1, S. 151ff.