Ping-Pong-Lemma

Im mathematischen Gebiet d​er Gruppentheorie i​st das Ping-Pong-Lemma e​in Verfahren z​ur Konstruktion freier Untergruppen e​iner Gruppe. Es w​ird Felix Klein zugeschrieben, d​er es i​n den 1870er Jahren a​ls „der Process d​er Ineinanderschiebung“ b​ei der Untersuchung Kleinscher Gruppen verwandte. Die u​nten angegebene Formulierung g​eht auf Jacques Tits zurück, d​er sie Anfang d​er 1970er Jahre (als „a criterion o​f freedom“) b​eim Beweis d​er Tits-Alternative verwandte.[1]

Ping-Pong-Lemma

Eine Gruppe ${\displaystyle G}$ wirke auf einem Raum ${\displaystyle X}$. Seien ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}\subset G}$ nichttriviale Untergruppen mit mindestens drei Elementen und es gebe disjunkte Teilmengen ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\subset X}$ so dass für alle

${\displaystyle h\in H_{i}\setminus \left\{1\right\}}$

und für alle ${\displaystyle j\not =i}$ die Inklusion

${\displaystyle h(X_{j})\subset X_{i}}$

gilt. Dann ist ${\displaystyle \langle H_{1}\cup \dots \cup H_{k}\rangle }$ ein freies Produkt:

${\displaystyle \langle H_{1}\cup \dots \cup H_{k}\rangle =H_{1}*\ldots *H_{n}}$.

Beispiel

Die v​on den Matrizen

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}}$

erzeugte Untergruppe ${\displaystyle G\subset SL(2,\mathbb {Z} )}$ ist eine freie Gruppe.

Zum Beweis betrachte man die lineare Wirkung auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ und wende das Ping-Pong-Lemma auf die Teilmengen

${\displaystyle X_{1}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|>|y|\right\}}$

${\displaystyle X_{2}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|<|y|\right\}.}$

an.

Allgemeiner wird mit Hilfe des Ping-Pong-Lemmas das Lemma von Sanov bewiesen: Wenn ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ komplexe Zahlen mit ${\displaystyle |z_{1}z_{2}|\geq 4}$ sind, dann erzeugen

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&z_{1}\\0&1\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&0\\z_{2}&1\end{pmatrix}}}$

eine freie Untergruppe von ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$.

Anwendungen

• In der Theorie der Kleinschen Gruppen kann man das Ping-Pong-Lemma zur Konstruktion von Schottky-Gruppen verwenden: man habe ${\displaystyle 2k}$ paarweise disjunkte Kreisscheiben ${\displaystyle C_{-1},C_{1},\ldots ,C_{-k},C_{k}}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}}$ und für ${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$ gebe es Abbildungen ${\displaystyle \theta _{i}\in SL(2,\mathbb {C} )}$, die jeweils das Innere von ${\displaystyle C_{-i}}$ bijektiv auf das Äußere von ${\displaystyle C_{i}}$ abbilden. Dann ist die von ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{k}}$ erzeugte Untergruppe ${\displaystyle \Gamma \subset SL(2,\mathbb {C} )}$ eine freie Gruppe, die als Schottky-Gruppe bezeichnet wird. Man kann zeigen, dass jede nicht-elementare Kleinsche Gruppe eine Schottky-Gruppe vom Rang ${\displaystyle \geq 2}$ enthält.
• Das Ping-Pong-Lemma wurde beim Beweis der Tits-Alternative verwendet. In ihrer klassischen Form besagte diese, dass eine endlich erzeugte und nicht fast-auflösbare Untergruppe von ${\displaystyle GL(n,K)}$ eine freie Untergruppe enthält, sie kann inzwischen allgemeiner auch für endlich erzeugte und nicht fast-auflösbare Untergruppen beispielsweise von hyperbolischen Gruppen, Abbildungsklassengruppen und Automorphismengruppen freier Gruppen bewiesen werden.

Literatur

Pierre d​e la Harpe. Topics i​n geometric g​roup theory. Chicago Lectures i​n Mathematics. University o​f Chicago Press, Chicago. ISBN 0-226-31719-6; Ch. II.B "The table-Tennis Lemma (Klein's criterion) a​nd examples o​f free products"

Weblinks

• Kapitel 4.4 in Geometric group theory, an introduction

Einzelnachweise

1. Proposition 1.1 in: Tits, J.: "Free subgroups in linear groups". Journal of Algebra 20 (2), 250–270 (1972). online (pdf)