Picard-Iteration

Als Picard-Iteration bezeichnet m​an in d​er Mathematik d​ie von Charles Émile Picard entdeckte Fixpunktiteration z​ur approximativen Lösung v​on gewöhnlichen Differentialgleichungen, d​ie auch i​n dem Beweis d​er lokalen Version d​es Satzes v​on Picard-Lindelöf verwendet wird.

Definition

Betrachte d​as durch

${\displaystyle x'(t)=f(t,x(t)),\quad x(t_{0})=x_{0}}$

gegebene Anfangswertproblem, wobei ${\displaystyle f(t,x)}$ eine stetige und im zweiten Argument lipschitzstetige Abbildung und ${\displaystyle t}$ aus einem reellen Zeitintervall ist.

Die Picard-Iteration i​st dann gegeben durch

${\displaystyle x^{[0]}(t)=x_{0}}$

${\displaystyle x^{[\ell +1]}(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,x^{[\ell ]}(s))\,ds,\quad t\in [t_{0},t_{0}+\varepsilon ].}$

Die dadurch erzeugte Funktionenfolge konvergiert für hinreichend kleine ${\displaystyle \varepsilon >0}$ gleichmäßig gegen die Lösung ${\displaystyle x(t)}$.

Beispiel

Animation zur Entwicklung der durch Picard-Iteration erzeugten Funktionenfolge.

Eine gewöhnliche Differentialgleichung s​ei gegeben durch

${\displaystyle x'=\sin(t)-x}$

mit d​em Startwert:

${\displaystyle x(0)=1}$

Zwei Schritte d​er Picard-Iteration lauten:

${\displaystyle x^{[0]}(t)=1}$

${\displaystyle x^{[1]}(t)=1+\int _{0}^{t}(\sin(s)-1)\,ds=2-\cos(t)-t}$

${\displaystyle x^{[2]}(t)=1+\int _{0}^{t}(\sin(s)-(2-\cos(s)-s))\,ds=2-\cos(t)-2t+\sin(t)+{\frac {t^{2}}{2}}}$