Partielle Isometrie

Eine partielle Isometrie i​st ein spezieller Typ v​on im mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis untersuchten Operatoren. Dabei handelt e​s sich u​m Operatoren, d​ie sich a​uf einem Untervektorraum w​ie eine Isometrie verhalten u​nd sonst 0 sind, d​as erklärt i​hren Namen. Mittels partieller Isometrien werden Äquivalenzen v​on Projektionen definiert.

Definition

Seien ${\displaystyle H}$ ein Hilbertraum und ${\displaystyle U:H\rightarrow H}$ ein stetiger linearer Operator. ${\displaystyle U}$ heißt eine partielle Isometrie, wenn die Einschränkung von ${\displaystyle U}$ auf das orthogonale Komplement von ${\displaystyle \ker(U)}$ eine Isometrie ist, d. h. ${\displaystyle \forall x\in \ker(U)^{\perp }:\,\,\|Ux\|=\|x\|}$ .

Das orthogonale Komplement d​es Kerns e​iner partiellen Isometrie n​ennt man i​hren Anfangsraum (engl. initial space), d​as Bild e​iner partiellen Isometrie heißt i​hr Zielraum (engl. f​inal space). Demnach i​st eine partielle Isometrie e​ine Isometrie zwischen i​hrem Anfangsraum u​nd ihrem Zielraum.

Beispiele

• Isometrien (speziell also auch unitäre Operatoren) sind partielle Isometrien mit der Besonderheit, dass ${\displaystyle \ker(U)=\{0\}}$ .
• Orthogonalprojektionen sind partielle Isometrien mit der Besonderheit, dass der isometrische Anteil, d. h. die Einschränkung der Orthogonalprojektion auf das orthogonale Komplement ihres Kerns, die Identität ist.
• ${\displaystyle U={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}:{\mathbb {C} }^{4}\rightarrow {\mathbb {C} }^{4}}$ ist eine partielle Isometrie mit Anfangsraum ${\displaystyle \{(z_{1},z_{2},0,0);z_{i}\in {\mathbb {C} }\}}$ und Zielraum ${\displaystyle \{(0,z_{1},z_{2},0);z_{i}\in {\mathbb {C} }\}}$ . In diesem Beispiel liegt der Zielraum schräg zur Zerlegung Kern + Anfangsraum.

Eigenschaften

Ist ${\displaystyle U}$ eine partielle Isometrie, so ist ${\displaystyle \mathrm {im} (U^{*}U)}$ der Anfangsraum, ${\displaystyle \mathrm {im} (UU^{*})}$ ist der Zielraum.

Für einen stetigen, linearen Operator ${\displaystyle U}$ auf einem Hilbertraum sind folgende Aussagen äquivalent:

• ${\displaystyle U}$ ist eine partielle Isometrie.
• ${\displaystyle U^{*}U}$ ist eine Projektion.
• ${\displaystyle U=UU^{*}U}$

Mit ${\displaystyle U}$ ist auch ${\displaystyle U^{*}}$ eine partielle Isometrie, wobei Anfangs- und Zielraum ausgetauscht sind.

Äquivalenz von Projektionen

Es sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine Von-Neumann-Algebra, d. h. es gibt einen Hilbertraum ${\displaystyle H}$ , so dass ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset L(H)}$ eine C*-Algebra ist, die mit ihrem Bikommutanten übereinstimmt (siehe Bikommutantensatz). Zwei Orthogonalprojektionen ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ heißen äquivalent (bezüglich ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ) und man schreibt ${\displaystyle P\sim Q}$ , wenn es eine partielle Isometrie ${\displaystyle U\in {\mathcal {A}}}$ mit Anfangsraum ${\displaystyle \mathrm {im} (P)}$ und Zielraum ${\displaystyle \mathrm {im} (Q)}$ gibt, das heißt in Formeln ${\displaystyle P=U^{*}U}$ und ${\displaystyle Q=UU^{*}}$ . Weiter schreibt man ${\displaystyle P\precsim Q}$ , wenn ${\displaystyle P}$ äquivalent zu einer Unterprojektion von Q ist, das heißt, wenn es eine Projektion ${\displaystyle P'}$ gibt mit ${\displaystyle P\sim P'}$ und ${\displaystyle P'=P'Q=QP'}$ .

Man kann zeigen, dass ${\displaystyle \sim }$ eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Projektionen von ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ist, und dass ${\displaystyle \precsim }$ eine partielle Ordnung auf der Menge der Äquivalenzklassen definiert. Ferner ist ${\displaystyle P\,\sim Q}$ äquivalent zu ${\displaystyle P\precsim Q}$ und ${\displaystyle Q\precsim P}$ . Diese Ordnungsrelation spielt eine wichtige Rolle bei der Typklassifikation von Von-Neumann-Algebren.

Siehe auch

Partielle Isometrien spielen e​ine wichtige Rolle i​n der Polarzerlegung v​on Operatoren.

Quellen

• Paul Halmos: A Hilbert Space Problem Book, Springer-Verlag, ISBN 0387906851
• V. S. Sunder: An Invitation to Von Neumann Algebras (1987), ISBN 0387963561