Partielle Autokorrelationsfunktion

Die partielle Autokorrelationsfunktion (PAKF, engl. PACF) ist wie die Autokovarianzfunktion und die Autokorrelationsfunktion ein Instrument, um Abhängigkeiten zwischen den Werten einer Zeitreihe zu unterschiedlichen Zeiten zu identifizieren. Die PAKF misst den linearen Zusammenhang zwischen ${\displaystyle Y_{t}}$ und ${\displaystyle Y_{t+k}}$ unter Ausschaltung des Einflusses der dazwischen liegenden Variablen.

Partielle Autokorrelation der Zeitreihe der Tiefen des Huronsee

Bei autokorrelierten stationären Prozessen enthalten die Beobachtungen ${\displaystyle Y_{t}}$ bis ${\displaystyle Y_{T-1}}$ Informationen über den erwarteten Betrag und Vorzeichen der Größe ${\displaystyle Y_{T}}$ (mit ${\displaystyle t<T\in \mathbb {N} }$). Die partielle Autokorrelation drückt dann die zusätzliche Information über die Ausprägung von ${\displaystyle Y_{T}}$ aus, die man erhält, wenn man darüber hinaus ${\displaystyle Y_{t-1}}$, den Zustand des Prozesses zur Zeit ${\displaystyle t-1}$, kennt.

Die formale Definition lautet b​ei zentrierten stationären Zeitreihen

${\displaystyle \varphi _{kk}:=\operatorname {Corr} (Y_{t},Y_{t-k}|Y_{t-1},\cdots ,Y_{t-k+1})\quad k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots }$

Die Operation ${\displaystyle \operatorname {Corr} (\cdot ,\cdot |\cdot )}$ bezeichnet dabei die bedingte Korrelation, gebildet mit der bedingten Erwartungswerten und bedingten Varianzen

${\displaystyle \operatorname {Corr} (W,Z|{\mathcal {F}}_{t}):={\frac {E(WZ|{\mathcal {F}}_{t})-E(W|{\mathcal {F}}_{t})E(Z|{\mathcal {F}}_{t})}{\sqrt {\operatorname {Var} (W|{\mathcal {F}}_{t})\operatorname {Var} (Z|{\mathcal {F}}_{t})}}}.}$

Die Funktion ist in ${\displaystyle k}$ symmetrisch und ihre Werte liegen im Intervall ${\displaystyle [-1,1]}$. Es gilt ${\displaystyle \varphi _{00}=1}$.

Zur Bestimmung d​er PAKF g​ibt es verschiedene Verfahren:

• Yule-Walker-Gleichungen (nach George Udny Yule),
• Durbin-Levinson-Algorithmus.

Letztere Methode g​eht rekursiv vor. Mit i​hr kann a​uch eine empirische PAKF (geschätzte PAKF) berechnet werden. Eine Approximation d​er Standardabweichung d​er empirischen PAKF i​st mit d​er Quenouille-Approximation möglich:

${\displaystyle {\hat {\sigma }}({\hat {\varphi }}_{kk})\approx {\frac {1}{\sqrt {T}}}}$.

Quellen

• Box, G. E. P., Jenkins, G. M., und Reinsel, G. C. (1994). Time Series Analysis, Forecasting and Control, 3rd ed. Prentice Hall, Englewood Clifs, NJ.
• Brockwell, Peter J. und Davis, Richard A. (1987). Time Series: Theory and Methods, Springer-Verlang.
• Rinne H. (2003). Taschenbuch der Statistik, Verlag Harri Deutsch.