Pappos-Kette

Die Pappos-Kette (auch Pappus-Kette) i​st in d​er Geometrie e​ine unendliche Folge einander berührender Kreise i​n einem Arbelos. Sie i​st benannt n​ach dem griechischen Geometer Pappos v​on Alexandria, d​er sie i​m 3. Jahrhundert erstmals untersuchte.

Die Pappos-Kette im Arbelos

Konstruktion

Pappos-Kette im gespiegelten Arbelos

Ein Arbelos wird gebildet durch die drei Halbkreise über ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle AC}$ und ${\displaystyle CB}$ (sichelförmige Figur in der oberen Abbildung). Der Inkreis des Arbelos mit dem Mittelpunkt ${\displaystyle P_{1}}$ ist der erste Kreis der Pappos-Kette, die weiteren (mit den Mittelpunkten ${\displaystyle P_{2}}$, ${\displaystyle P_{3}}$ u. s. f.) ergeben sich durch Aneinanderreihung von Kreisen, die den jeweils vorangehenden Kreis der Kette, den großen Halbkreis über ${\displaystyle AB}$ und einen der beiden kleineren Halbkreise berühren. In der Abbildung, auf die sich auch der weitere Text bezieht, ist das der linke Halbkreis über ${\displaystyle AC}$, die Kette hätte ebenso gut nach rechts (den Halbkreis über ${\displaystyle CB}$ berührend) fortgesetzt werden können.

Man kann die Pappos-Kette auch in einem an ${\displaystyle AB}$ gespiegelten Arbelos betrachten, dann wird der zum Kreis ergänzte Arbelos-Halbkreis, der nicht alle Kreise der Kette berührt (hier der über ${\displaystyle CB}$), zu einem Glied der Kette.

Eigenschaften

Abstand des Kreises 3 von der Arbelos-Grundlinie

Man nummeriere die Kreise der Pappos-Kette wie folgt: Der zum Kreis ergänzte Arbelos-Halbkreis über ${\displaystyle CB}$ erhält die Nummer 0, der Arbelos-Inkreis die Nummer 1 u. s. f. (entsprechend der Indizierung der Kreismittelpunkte ${\displaystyle P_{n}}$ in der oberen Abbildung), die Radien dieser Kreise bezeichne man mit ${\displaystyle r_{n}}$. Die Radien der beiden kleinen Arbelos-Halbkreise seien ${\displaystyle a={\overline {CB}}/2=r_{0}}$ und ${\displaystyle b={\overline {AC}}/2}$.

• Der Kreis mit der Nummer ${\displaystyle n}$ hat den Radius
  ${\displaystyle r_{n}={\frac {ab(a+b)}{n^{2}a^{2}+b(a+b)}}}$.
• Der Mittelpunkt ${\displaystyle P_{n}}$ des Kreises mit der Nummer ${\displaystyle n}$ hat den Abstand ${\displaystyle 2nr_{n}}$ von der Arbelos-Grundlinie ${\displaystyle AB}$. Die Abbildung rechts illustriert dies für den Kreis mit der Nummer 3.
• Die Mittelpunkte der Kreise der Pappos-Kette liegen auf einer Ellipse (gestrichelt in der oberen Abbildung). Die Brennpunkte dieser Ellipse sind die Mittelpunkte der Strecken ${\displaystyle AB}$ und ${\displaystyle AC}$.
• Die Punkte, in denen die Kreise der Pappos-Kette einander berühren, liegen auf einem Kreis.

Siehe auch

• Steiner-Kette
• Buch der Lemmata

Weblinks

• Floor van Lamoen, Eric W. Weisstein: Pappus Chain. In: MathWorld (englisch).
• Jürgen Köller: Pappus-Kette. Mathematische Basteleien.
• Walter Fendt: Die Pappos-Kette. (HTML5-App). HTML5-Apps zur Mathematik.
• Bob Allanson: Pappus’s Arbelos (animiertes Java-Applet, englisch)