Normale Familie

In d​er Mathematik s​ind normale Familien v​or allem i​n der Funktionentheorie u​nd der komplexen Dynamik v​on Bedeutung.

Allgemeine Definition

Seien und vollständige metrische Räume. Eine Menge stetiger Funktionen

ist eine normale Familie, wenn jede Folge in eine kompakt konvergente Teilfolge mit (dann automatisch stetiger) Grenzfunktion enthält.

Es hat also jede Folge in eine Teilfolge mit

für alle kompakten Teilmengen .

Normale Familien in der Funktionentheorie

In der Funktionentheorie wählt man im Allgemeinen als Definitionsbereich ein Gebiet in und als Zielraum die Riemannsche Zahlenkugel, versehen mit der chordalen Metrik. Aus dem Weierstraßschen Konvergenzsatz folgt, dass der Grenzwert einer kompakt konvergenten Folge holomorpher Funktionen wieder holomorph oder konstant gleich ist.

Der kleine Satz von Montel besagt, dass eine lokal gleichmäßig beschränkte Familie holomorpher Funktionen normal ist. Nach dem großen Satz von Montel ist eine Familie holomorpher Funktionen normal, wenn es mit gibt, so dass keine Funktion der Familie einen der Werte oder annimmt.

Literatur

  • Paul Montel: Sur les familles normales des fonctions analytiques, Ann. ENS 33, 233-302 (1916).
  • Joel Schiff: Normal families. Springer, 1993, ISBN 978-1-4612-0907-2
  • Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage. Springer, 2007, ISBN 3540404325
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