Noetherscher Normalisierungssatz

Der noethersche Normalisierungssatz (oder a​uch noethersches Normalisierungslemma) (nach Emmy Noether) i​st eine Strukturaussage a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er kommutativen Algebra. In geometrischer Sprache besagt er, d​ass es v​on einem geometrischen Objekt s​tets eine Abbildung i​n einen affinen Raum gibt, d​eren Fasern endlich sind.

Dieser Artikel beschäftigt s​ich mit kommutativer Algebra. Insbesondere s​ind alle betrachteten Ringe kommutativ u​nd haben e​in Einselement. Für weitere Details s​iehe Kommutative Algebra.

Formulierung

Es sei ${\displaystyle k}$ ein Körper und ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle k}$-Algebra endlichen Typs. Dann gibt es algebraisch unabhängige Elemente ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in A}$, so dass ${\displaystyle A}$ eine endliche ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$-Algebra, also ganz über ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ist. Man kann für ${\displaystyle n}$ den Transzendenzgrad ${\displaystyle \operatorname {Trg} (A\colon k)}$ wählen.

Dabei bedeutet "algebraisch unabhängig", d​ass der Homomorphismus

${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]\to A,\quad X_{i}\mapsto x_{i}}$

aus dem Polynomring ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ nach ${\displaystyle A}$ injektiv ist.

Siehe auch

• Ganzheit (kommutative Algebra)
• Hilbertscher Nullstellensatz