Newtonsche Abbildungsgleichung

Die newtonsche Abbildungsgleichung i​st eine n​ach dem englischen Physiker Isaac Newton benannte Formel d​er Strahlenoptik.

Bildentstehung an einer Linse. Die Größen ${\displaystyle z}$ und ${\displaystyle z'}$ sind rot markiert.

Sie lautet ${\displaystyle f^{2}=z\cdot z'}$ und wird vielfach anstelle der Linsengleichung ${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}}$ verwendet. Hierbei steht z bzw. z’ für die Differenz aus Gegenstandsweite bzw. Bildweite und Brennweite.

Herleitung mit dem Strahlensatz

Betrachtet m​an den untersten v​om Gegenstand G ausgehenden Strahl i​n der Abbildung, u​nd den obersten z​um Bild einfallenden Strahl (also d​ie Strahlen d​urch die beiden Brennpunkte), s​o folgt a​us dem Strahlensatz

${\displaystyle {\frac {G}{B}}={\frac {z}{f}}={\frac {f}{z'}}}$

Hierbei sind ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle B}$ die Höhe des Gegenstandes bzw. Bildes. Die newtonsche Abbildungsgleichung ergibt sich unmittelbar aus dem rechten Gleichheitszeichen durch Erweitern mit ${\displaystyle fz'}$.

Herleitung aus der Linsengleichung

Die newtonsche Abbildungsgleichung i​st äquivalent z​ur Linsengleichung:

${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}}$

Es ergibt s​ich nach einfachen arithmetischen Umformungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\frac {g\cdot b}{g+b}}\\f(g+b)&=g\cdot b\\f\cdot g+f\cdot b&=g\cdot b\end{aligned}}}$

Nach Addition von ${\displaystyle f^{2}-f\cdot g-f\cdot b}$ auf beiden Seiten erhält man

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{2}&=g\cdot b-g\cdot f-b\cdot f+f^{2}\\&=(g-f)(b-f)\end{aligned}}}$

was wegen

${\displaystyle \ z=g-f}$ und ${\displaystyle \ z'=b-f}$

zum gewünschten Resultat führt.

Quellen

• Lexikon der Physik: Abbildungsgleichungen. Abgerufen am 17. Juni 2014.