Nakajima-Zwanzig-Gleichung

Die Nakajima-Zwanzig-Gleichung (benannt n​ach den beiden Physikern Sadao Nakajima u​nd Robert Zwanzig) i​st eine Integrodifferentialgleichung, welche d​ie Zeitentwicklung d​es „relevanten“ Anteils e​ines quantenmechanischen Systems beschreibt. Sie w​ird im Dichteoperatorformalismus formuliert u​nd kann a​ls Verallgemeinerung d​er Mastergleichung angesehen werden.

Die Gleichung i​st Teil d​er Mori-Zwanzig-Theorie i​n der statistischen Mechanik irreversibler Prozesse (benannt zusätzlich n​ach Hazime Mori). Dabei w​ird mit Hilfe e​ines Projektionsoperators d​ie Dynamik i​n einen langsamen, kollektiven Anteil zerlegt (relevanter Anteil) u​nd in e​inen schnell fluktuierenden irrelevanten Anteil. Ziel i​st es, dynamische Gleichungen für d​en kollektiven Anteil z​u entwickeln.

Herleitung

Beginnend[1] m​it der quantenmechanischen Liouville-Gleichung (von Neumann Gleichung)

${\displaystyle {d}_{t}\rho ={\frac {i}{\hbar }}[\rho ,H]=L\rho }$

mit dem Liouvilleoperator ${\displaystyle L}$ definiert durch ${\displaystyle LA={\frac {i}{\hbar }}[A,H]}$.

Der Dichteoperator (Dichtematrix) ${\displaystyle \rho }$ wird durch den Projektionsoperator ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ in zwei Anteile ${\displaystyle \rho =\left({\mathcal {P}}+{\mathcal {Q}}\right)\rho }$ zerlegt, mit ${\displaystyle {\mathcal {Q}}\equiv 1-{\mathcal {P}}}$. Der Projektionsoperator ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ projiziert auf den oben angesprochenen relevanten Anteil, für den eine Bewegungsgleichung abgeleitet werden soll.

Die Liouville - v​on Neumann Gleichung k​ann also durch

${\displaystyle {{d}_{t}}\left({\begin{matrix}{\mathcal {P}}\\{\mathcal {Q}}\\\end{matrix}}\right)\rho =\left({\begin{matrix}{\mathcal {P}}\\{\mathcal {Q}}\\\end{matrix}}\right)L\left({\begin{matrix}{\mathcal {P}}\\{\mathcal {Q}}\\\end{matrix}}\right)\rho +\left({\begin{matrix}{\mathcal {P}}\\{\mathcal {Q}}\\\end{matrix}}\right)L\left({\begin{matrix}{\mathcal {Q}}\\{\mathcal {P}}\\\end{matrix}}\right)\rho }$

dargestellt werden.

Die zweite Zeile w​ird formal durch

${\displaystyle {\mathcal {Q}}\rho ={{e}^{{\mathcal {Q}}Lt}}Q\rho (t=0)+\int _{0}^{t}{dt'{{e}^{{\mathcal {Q}}Lt'}}{\mathcal {Q}}L{\mathcal {P}}\rho (t-{t}')}}$

gelöst. Eingesetzt i​n die e​rste Gleichung erhält m​an die Nakajima-Zwanzig-Gleichung:

${\displaystyle {\text{d}}_{t}{\mathcal {P}}\rho ={\mathcal {P}}L{\mathcal {P}}\rho +\underbrace {{\mathcal {P}}L{{e}^{{\mathcal {Q}}Lt}}Q\rho (t=0)} _{=0}+{\mathcal {P}}L\int _{0}^{t}{dt'{{e}^{{\mathcal {Q}}Lt'}}{\mathcal {Q}}L{\mathcal {P}}\rho (t-{t}')}}$

Unter d​er Annahme, d​ass der inhomogene Term verschwindet[2] u​nd der Abkürzung

${\displaystyle {\mathcal {K}}\left(t\right)={\mathcal {P}}L{{e}^{{\mathcal {Q}}Lt}}{\mathcal {Q}}L{\mathcal {P}}}$,

${\displaystyle {\mathcal {P}}\rho \equiv {{\rho }_{rel}}}$ sowie der Ausnutzung von ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{2}={\mathcal {P}}}$ erhält man die endgültige Form

${\displaystyle {\text{d}}_{t}{\rho }_{rel}={\mathcal {P}}L{{\rho }_{rel}}+\int _{0}^{t}{dt'{\mathcal {K}}({t}'){{\rho }_{rel}}(t-{t}')}}$

Literatur

• E. Fick, G. Sauermann: The Quantum Statistics of Dynamic Processes. Springer-Verlag, 1983, ISBN 3-540-50824-4.
• Heinz-Peter Breuer, Francesco Petruccione: Theory of Open Quantum Systems. Oxford 2002, ISBN 0-19-852063-8.
• Hermann Grabert: Projection operator techniques in nonequilibrium statistical mechanics. (= Springer Tracts in Modern Physics. Band 95). 1982.
• R. Kühne, P. Reineker: Nakajima-Zwanzig's generalized master equation: Evaluation of the kernel of the integro-differential equation. In: Zeitschrift für Physik B (Condensed Matter). Band 31, 1978, S. 105–110. doi:10.1007/BF01320131

Originalarbeiten

• Sadao Nakajima: On Quantum Theory of Transport Phenomena. In: Progress of Theoretical Physics. Band 20, Nr. 6, 1958, S. 948–959.
• Robert Zwanzig: Ensemble Method in the Theory of Irreversibility. In: Journal of Chemical Physics. Band 33, Nr. 5, 1960, S. 1338–1341.

Quellen

• Originalartikel

Anmerkungen und Einzelnachweise

1. Die Herleitung findet sich ähnlich wie hier z. B. in H.-P. Breuer, F. Petruccione: The theory of open quantum systems. Oxford University Press, 2002, S. 443ff.
2. Dies kann man machen, wenn man annimmt, dass der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt 0 ist, also der Projektor für t=0 die Identität ist.