Monodromie

Monodromie bezeichnet i​n der Mathematik, w​ie sich Objekte a​us der Analysis, Topologie o​der in d​er algebraischen u​nd Differentialgeometrie verhalten, sobald s​ie sich u​m eine Singularität bewegen.

Monodromie i​st eng verbunden m​it der Theorie d​er Überlagerungen u​nd ihren Degenerierungen i​n Verzweigungspunkten. Monodromietheorie i​st motiviert d​urch das Phänomen, d​ass bestimmte Funktionen, d​ie man definieren möchte, i​n der Nähe v​on Singularitäten mehrwertig werden. Diese Monodromieeigenschaft lässt s​ich am besten d​urch die sogenannte Monodromiegruppe messen, e​ine Gruppe v​on Abbildungen, d​ie auf d​en Werten d​er Funktion operiert. Diese Gruppenoperation kodiert d​as Verhalten d​er Werte b​eim Umlaufen d​er Singularität.

Definition

Sei ${\displaystyle X}$ ein zusammenhängender und lokal zusammenhängender punktierter topologischer Raum mit Basispunkt ${\displaystyle x}$. Sei weiterhin ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\to X}$ eine Überlagerung mit Faser ${\displaystyle F=p^{-1}(x)}$. Für eine Schleife ${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\longrightarrow X} mit Startpunkt ${\displaystyle x}$ sei ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ die Liftung von ${\displaystyle \gamma }$ mit Startpunkt ${\displaystyle {\tilde {x}}\in F}$. Weiterhin bezeichne ${\displaystyle {\tilde {x}}\cdot \gamma }$ den Endpunkt ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)}$, der sich im Allgemeinen von ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ unterscheiden kann.

Es lässt sich beweisen, dass diese Konstruktion zu einer wohldefinierten Gruppenoperation der Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ auf der Faser ${\displaystyle F}$ führt. Hierbei ist der Stabilisator von ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ genau ${\displaystyle p_{*}(\pi _{1}({\tilde {X}},{\tilde {x}}))}$. Das bedeutet, dass ein Element ${\displaystyle [\gamma ]}$ einen Punkt in der Faser ${\displaystyle F}$ genau dann invariant lässt, wenn es durch das Bild einer Schleife in ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ mit Basispunkt ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ repräsentiert wird.

Diese Gruppenwirkung wird als Monodromiewirkung beschrieben. Der Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\longrightarrow {\text{Aut}}(F)}$ in die Automorphismengruppe von ${\displaystyle F}$ ist die Monodromie. Das Bild des Homomorphismus wird als die Monodromiegruppe bezeichnet.

Literatur

• V.I. Danilov: Monodromy. Springer-Verlag, ISBN 978-1-55608-010-4