Mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel

Die mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel[1], meist kurz mittlere absolute Abweichung genannt, (englisch mean deviation oder mean absolute deviation[2], kurz MD oder MAD) ist ein Streuungsmaß in der deskriptiven Statistik und gibt ähnlich wie die empirische Varianz an, wie sehr die Stichprobe um das arithmetische Mittel streut. Im Gegensatz zur empirischen Varianz wird jedoch bei der mittleren absoluten Abweichung der Abstand zum arithmetischen Mittel nicht quadratisch gewichtet, sondern nur dem Betrage nach. Große Abweichungen vom arithmetischen Mittel fallen daher nicht so stark ins Gewicht.

Sie ist zu unterscheiden von der mittleren absoluten Abweichung vom Median, die ebenfalls mit MAD abgekürzt wird (für ebenfalls mean absolute deviation oder auch median absolute deviation). Dabei wird als Stichprobenmittelpunkt der Median gewählt und das arithmetische Mittel oder der Median der Abweichungen gebildet.

Definition

Gegeben sei eine Stichprobe $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ mit $n$ Elementen und sei

{\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}

das arithmetische Mittel, im Folgenden kurz Mittel genannt. Dann ist die mittlere absolute Abweichung definiert als[2] [3]

d_{\overline {x}}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\overline {x}}|

.

Neben der Notation mit $d_{\overline {x}}$ finden sich auch $\operatorname {MD}$ oder $\operatorname {MAD}$ als Abkürzungen für den englischen Begriff Mean Absolute Deviation.

Beispiel

Gegeben sei die Stichprobe

x=(10;9;13;15;16)

,

es ist also $n=5$ . Für das Mittel ergibt sich

{\overline {x}}={\frac {1}{5}}(10+9+13+15+16)={\frac {63}{5}}=12{,}6

.

Damit ist

{\begin{aligned}d_{\overline {x}}&={\frac {1}{5}}\left(|10-12{,}6|+|9-12{,}6|+|13-12{,}6|+|15-12{,}6|+|16-12{,}6|\right)\\&={\frac {1}{5}}\left(|-2{,}6|+|-3{,}6|+|0{,}4|+|2{,}4|+|3{,}4|\right)\\&={\frac {1}{5}}\left(2{,}6+3{,}6+0{,}4+2{,}4+3{,}4\right)\\&={\frac {1}{5}}\cdot {\frac {62}{5}}={\frac {62}{25}}\\&=2{,}48\end{aligned}}

Insbesondere stimmt die mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel im Allgemeinen nicht mit der mittleren absoluten Abweichung vom Median überein. Diese liefert bei identischer Stichprobe den Wert

{\tilde {d}}_{0{,}5}=2{,}4

,

siehe dieses Beispiel.

Siehe auch

Mittlere quadratische Abweichung

Einzelnachweise

Reinhold Kosfeld, Hans Friedrich Eckey, Matthias Türck: Deskriptive Statistik. Grundlagen – Methoden – Beispiele – Aufgaben. 6. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-13639-0, S. 118, doi:10.1007/978-3-658-13640-6.
Eric W. Weisstein: Mean Deviation. In: MathWorld (englisch).
Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, S. 32, doi:10.1007/978-3-658-03077-3.

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[Kosfeld118-1] Reinhold Kosfeld, Hans Friedrich Eckey, Matthias Türck: Deskriptive Statistik. Grundlagen – Methoden – Beispiele – Aufgaben. 6. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-13639-0, S. 118, doi:10.1007/978-3-658-13640-6.

[Wolframmeandev-2] Eric W. Weisstein: Mean Deviation. In: MathWorld (englisch).

[Henze32-3] Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, S. 32, doi:10.1007/978-3-658-03077-3.