Michael-Gerade

Die Michael-Gerade o​der Michael-Line, benannt n​ach Ernest Michael, i​st ein spezieller, i​m mathematischen Teilgebiet d​er Topologie betrachteter topologischer Raum. Historisch w​ar er d​as erste Beispiel e​ines normalen Raums, dessen Produkt m​it einem metrischen Raum n​icht wieder normal ist.[1]

Definition

Die Michael-Gerade ${\displaystyle M}$ ist die Menge ${\displaystyle \mathbb {R} }$, woher die Bezeichnung Gerade rührt, zusammen mit der wie folgt definierten Topologie ${\displaystyle \tau _{M}}$: Offene Mengen sind die Vereinigungen ${\displaystyle U\cup I}$, wobei

• ${\displaystyle U}$ eine in der euklidischen Topologie offene Menge, das heißt eine Vereinigung von Intervallen ${\displaystyle (a,b)}$ mit ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle I}$ eine beliebige Teilmenge der irrationalen Zahlen

ist. Man zeigt, dass dadurch ein topologischer Raum ${\displaystyle M=(\mathbb {R} ,\tau _{M})}$ definiert ist.[2][3]

Eigenschaften

• Die Michael-Gerade ${\displaystyle M=(\mathbb {R} ,\tau _{M})}$ ist ein normaler Raum, sogar ein parakompakter Raum.[4]
• Ist ${\displaystyle X}$ der Raum der irrationalen Zahlen mit der relativen euklidischen Topologie, so ist das Produkt ${\displaystyle M\times X}$ nicht normal. Das hat E. Michael in seiner unten zitierten Originalarbeit gezeigt.
• Die Michael-Gerade ist nicht metrisierbar, denn obiges Produkt wäre sonst ebenfalls metrisierbar und damit normal.
• Die Michael-Gerade ist kein Lindelöf-Raum. Ist ${\displaystyle (r_{n})_{n}}$ eine Abzählung der rationalen Zahlen, so bilden die Mengen ${\displaystyle (r_{n}-2^{-n},r_{n}+2^{-n})}$ und die einpunktigen Mengen ${\displaystyle \{x\}}$ aus allen irrationalen Punkten eine offene Überdeckung, die keine abzählbare Teilüberdeckung besitzt, denn die Vereinigung einer abzählbaren Teilmenge der Überdeckungsmengen hat höchstens das Lebesgue-Maß 4. Die Frage, ob es auch Lindelöf-Räume gibt, deren Produkt mit dem Raum der irrationalen Zahlen nicht normal ist, berührt die Axiomatik der Mengenlehre. Lindelöf-Räume mit dieser Eigenschaft nennt man Michael-Räume[5], die Michael-Gerade ist wegen der fehlenden Lindelöf-Eigenschaft kein Michael-Raum.

Einzelnachweise

1. Ernest Michael: The product of a normal space and a metric space need not be normal. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Bd. 69, Nr. 3, 1963, S. 375–376, doi:10.1090/S0002-9904-1963-10931-3.
2. Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= BI-Hochschultaschenbücher. 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6, Aufgabe 38.
3. Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Bd. 33). 2., revised edition. North Holland Publishing Co., Amsterdam u. a. 1985, ISBN 0-444-87655-3, S. 197.
4. Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= BI-Hochschultaschenbücher. 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6, S. 136.
5. L. Brian Lawrence: The influence of a small cardinal on the product of a Lindelöf space and the irrationals. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Bd. 110, Nr. 2, 1990, S. 535–542, doi:10.2307/2048101.