Metzler-Matrix

Eine Metzler-Matrix i​st eine Matrix, d​eren Elemente außerhalb d​er Hauptdiagonalen allesamt nichtnegative Werte besitzen.

${\displaystyle \qquad \forall _{i\neq j}\,x_{ij}\geq 0.}$

Namensgeber dieser Matrizen i​st der amerikanische Ökonom Lloyd Metzler. Andere Bezeichnungen s​ind quasipositive Matrix o​der wesentlich-nichtnegative Matrix.

Metzler-Matrizen treten u​nter anderem i​n der Stabilitätsanalyse retardierter Differentialgleichungen u​nd in positiv linearen dynamischen Systemen auf.

Definition und Terminologie

Eine Metzler-Matrix ${\displaystyle A}$ erfüllt die Bedingung

${\displaystyle A=(a_{ij});\quad a_{ij}\geq 0,\quad i\neq j.}$

Eigenschaften

Das Matrixexponential einer Metzler-Matrix ist eine nichtnegative Matrix. Das kann man so veranschaulichen, dass die erzeugenden Matrizen eines zeit-kontinuierlichen Markov-Prozesses immer Metzler-Matrizen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen immer positiv sind.

Eine Metzler-Matrix hat mindestens einen Eigenvektor im Orthanten ${\displaystyle \Omega =\left\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}\mid \forall i=1,\ldots ,d\colon \quad 0\leq x_{i}\right\}.}$

Relevante Sätze

• Satz von Perron-Frobenius