Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung

Die Mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung i​st eine Ungleichung a​us dem Bereich d​er Stochastik. Sie i​st eine Verallgemeinerung d​er Tschebyscheff-Ungleichung u​nd nach d​em Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow benannt.

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Eindimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung

→ Hauptartikel: Tschebyscheffsche Ungleichung

Die (eindimensionale) Tschebyscheffsche Ungleichung besagt, dass für eine (eindimensionale) Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und der Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert außerhalb des Intervalls (μ-kσ , μ+kσ) annimmt, höchstens gleich 1/k² beträgt.

${\displaystyle 1-P(\mu -k\sigma \leq X\leq \mu +k\sigma )\leq {\tfrac {1}{k^{2}}}}$

z. B. ergibt sich für ${\displaystyle k=2}$:

${\displaystyle 1-P(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )\leq {\tfrac {1}{4}},}$

d. h. außerhalb d​es 2σ-Intervalls s​ind bei e​iner Stichprobe höchstens 25 % d​er Werte v​on X z​u erwarten.

Ungleichung der mehrdimensionalen Tschebyscheffschen Ungleichung

Eine mehrdimensionale Zufallsvariable ${\displaystyle X=(X^{1},...,X^{n})}$ besitzt die Kovarianzmatrixeinträge ${\displaystyle cov_{i,j}=E((X^{i}-\mu ^{i})(X^{j}-\mu ^{j}))}$. Diese Kovarianzmatrix kann durch

${\displaystyle {\hat {cov}}_{i,j}\approx {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}{(x_{\text{k}}^{i}-\mu ^{i}))(x_{\text{k}}^{j}-\mu ^{j})}}$

mit ${\displaystyle i,j=1\ldots n}$ geschätzt werden. Hochgestellte Indizes bezeichnen Komponenten eines Vektor, die tiefgestellten Indizes kennzeichnen die Werte einer Stichprobe, wobei ${\displaystyle N}$ der Stichprobenumfang ist.

Die Kovarianzmatrix ${\displaystyle C}$ ist somit

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}cov(X^{1},X^{1})&...&cov(X^{1},X^{n})\\...&...&...\\cov(X^{n},X^{1})&...&cov(X^{n},X^{n})\end{pmatrix}}}$.

Die mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung besagt, d​ass außerhalb dieser Konzentrationsellipse ( k=2 ) höchstens 50 % d​er Stichproben-Tupel liegen. Das i​st (wie i​m Eindimensionalen) e​ine grobe Abschätzung. Dies bedeutet also:

Ist ${\displaystyle X=(x^{1},...,x^{n})}$ eine n-dimensionale Zufallsvariable, die auf den "Mittelpunkt" ${\displaystyle (\mu (x^{1}),\ldots ,\mu (x^{n}))}$ zentriert wurde, so gilt für die zentrierte Variable die mehrdimensionale Tschebyscheffsche Ungleichung

${\displaystyle 1-P((x^{1},...x^{n})C^{-1}{\begin{pmatrix}x^{1}\\...\\x^{n}\end{pmatrix}}\leq k^{2})\leq {\frac {n}{k^{2}}}}$.

Beachte, dass die quadratische Form ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})C^{-1}{\begin{pmatrix}x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{pmatrix}}=k^{2}}$ die Streuregion einer Normalverteilung beschreibt, siehe Mehrdimensionale Normalverteilung#Streuregionen der mehrdimensionalen Normalverteilung.

Literatur

• T. Arens und andere, Mathematik, Spektrum Akademischer Verlag, 2008, ISBN 978-3-8274-1758-9.
• R. Kurth, Introduction to Stellar Statistics, Pergamon Press, 1967, Library of Congress Catalog Card 66-24821

Einzelnachweise