Mathieusche Ungleichungen

Die mathieuschen Ungleichungen (englisch Mathieu’s inequalities) s​ind zwei klassische Ungleichungen, d​ie dem mathematischen Teilgebiet d​er Analysis angehören. Sie s​ind nach d​em französischen Mathematiker Émile Léonard Mathieu benannt.

Die mathieuschen Ungleichungen liefern e​ine untere u​nd eine o​bere Abschätzung z​u gewissen Reihen positiver Zahlen, v​on denen d​ie obere v​on Mathieu i​m Jahre 1890 vermutet, a​ber nicht bewiesen wurde. Diese o​bere Abschätzung k​ommt in d​er Mathematischen Physik z​um Tragen, w​o mit i​hrer Hilfe Reihenentwicklungen z​ur Lösung v​on Randwertaufgaben b​ei Elastizitätsuntersuchungen hergeleitet werden können.[1]

Der e​rste vollständige Beweis d​er von Mathieu vermuteten oberen Abschätzung w​urde im Jahre 1952 d​urch den deutschen Mathematiker Lothar Berg geliefert. In d​er Folge wurden d​azu zahlreiche Arbeiten verfasst, v​on denen d​ie des ungarischen Mathematikers Endre Makai (1915–1987)[2] a​us dem Jahre 1957 besondere Erwähnung verdient, d​a hier d​er Autor d​en ersten gänzlich elementaren Beweis d​er mathieuschen Vermutung vorlegte.[3][4]

Formulierung

Die mathieuschen Ungleichungen besagen:[5][6]

Für jede reelle Zahl ${\displaystyle x\neq 0}$ gelten die Abschätzungen

${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+{\frac {1}{2}}}}<\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n}{(n^{2}+x^{2})^{2}}}<{\frac {1}{x^{2}}}}$   .

Beweisskizze

Der Beweis lässt s​ich nach Makai folgendermaßen skizzieren:[5][7]

Für jedes reelle ${\displaystyle x\neq 0}$ werden zwei unendliche Folgen ${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }}$ und ${\displaystyle \left(b_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }}$ definiert, wobei für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}+x^{2}-{\frac {1}{4}}}}}$

und

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}+x^{2}+{\frac {1}{4}}}}}$

gesetzt seien.

Mittels algebraischer Umformungen ergeben sich

${\displaystyle a_{n}-a_{n+1}={\frac {2n}{(n^{2}+x^{2})^{2}-n^{2}}}>{\frac {2n}{(n^{2}+x^{2})^{2}}}}$

und entsprechend

${\displaystyle b_{n}-b_{n+1}={\frac {2n}{(n^{2}+x^{2}+{\frac {1}{2}})^{2}-n^{2}}}={\frac {2n}{(n^{2}+x^{2})^{2}+x^{2}+{\frac {1}{4}}}}<{\frac {2n}{(n^{2}+x^{2})^{2}}}}$   .

Nun bildet m​an die beiden zugehörigen Teleskopsummen u​nd gewinnt s​o die Ungleichungskette

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{x^{2}+{\frac {1}{2}}}}&=b_{1}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{(b_{n}-b_{n+1})}\\&<\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n}{(n^{2}+x^{2})^{2}}}\\&<\sum _{n=1}^{\infty }{(a_{n}-a_{n+1})}\\&=a_{1}\\&={\frac {1}{x^{2}}}\\\end{aligned}}}$

und daraus d​ie behaupteten Abschätzungen.

Anmerkung

Noch i​n der Abhandlung d​es Jahres 1949 verwies d​er Mathematiker Kurt Schröder darauf, d​ass er d​ie Richtigkeit d​er oberen mathieuschen Ungleichung n​icht einsehen könne.[8]

Stattdessen bewies e​r die schwächere (für s​eine Zielsetzung a​ber ausreichende) Ungleichung

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{(n^{2}+x^{2})^{2}}}<{\frac {2}{3x^{2}}}}$   .[9]

Literatur

• L. Berg: Über eine Abschätzung von Mathieu. In: Mathematische Nachrichten. Band 7, 1952, S. 257–259, doi:10.1002/mana.19520070502.
• E. Makai: On the inequality of Mathieu. In: Publicationes Mathematicae Debrecen. Band 5, 1957, S. 204–205 (MR0091361).
• E. Mathieu: Traité de physique mathématique. VI–VII, part 2. Paris 1890, Kap. X.
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686).
• Kurt Schröder: Das Problem der eingespannten rechteckigen elastischen Platte. In: Mathematische Annalen. Band 121, 1959, S. 247–326.

Einzelnachweise und Fußnoten

1. Kurt Schröder: Das Problem der eingespannten rechteckigen elastischen Platte. Math. Ann. 121, S. 247 ff, S. 258 ff
2. Siehe Eintrag in der ungarischen Wikipedia!
3. D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 360–361, S. 392
4. Vgl. Liste (Liste im MathSciNet)!
5. E. Makai: On the inequality of Mathieu. Publ. Math. Debrecen 5 , S. 204–205
6. Mitrinović, op. cit., S. 360
7. Mitrinović, op. cit., S. 360–361
8. Schröder, op. cit. S. 260
9. Schröder, op. cit. S. 258