Mandelbulb
Das Mandelbulb-Fraktal ist ein dreidimensionales Fraktal. Es wurde 2009 von Daniel White und Paul Nylander konstruiert. Dazu wurde ein herkömmliches Mandelbrot einer sphärischen Koordinatentransformation unterzogen.[1]
![](../I/Mandelbulb_1%252C024GP_Overview_20211110_002_ALT.png.webp)
Mathematik
Eine dreidimensionale Mandelbrot-Menge in Normalenform existiert so nicht, denn es gibt kein 3-dimensionales Analogon der komplexen Ebene (sondern nur höher-dimensionale Zahlensysteme wie Quaternionen oder Dimensionen anderen hyperkomplexen Zahlen).
Whites und Nylanders Formel für den n-ten Exponenten des Vektors in einem kartesischen Koordinatensystem () lautet
unter Verwendung von
- ,
- , und
- .
Die Mandelbulb ist sodann definiert als die Menge der c-Werte in für die der Orbit von unter der Iteration begrenzt ist[2]. Für n > 3 ergibt sich eine 3-dimensionale birnenähnliche Struktur mit fraktalen Oberflächendetails und eine Anzahl an "Lappen" abhängig von n. Viele Graphikrenderings nutzen für n den Wert 8. Die Gleichungen können in rationale Polynome vereinfacht werden, wenn n ungerade ist. Für den Fall n = 3 kann die in die folgende, vereinfachte Form umgeformt werden:
- .
Allgemeiner kann man entsprechende Fraktale (neben n auch von p und q abhängend) für die Abbildung
konstruieren, wobei p und q nicht gleich n sein müssen, um |vn| = |v|n zu erfüllen. Noch allgemeinere Fraktale können mit der Iteration
gefunden werden.
Ähnlichkeit mit der Mandelbrot-Menge
Durch gewisse Transformationen des Mandelbulb-Fraktals lässt sich eine Ähnlichkeit mit der Mandelbrot-Menge erahnen. Wenn man im Fall n = 2 das Fraktal in der Mitte durchschneidet, erkennt man die klassische Mandelbrot-Menge.
Die Julia-Menge am Nullpunkt der Mandelbrot-Menge entspricht einer idealen Kreisfläche. Analog dazu ist die Julia-Menge am Nullpunkt der Mandelbulb eine ideale Kugel. Diese Julia-Mengen unterscheiden sich hier also nur in der Anzahl der Dimensionen voneinander.
Trivia
- Im 2014 erschienenen Computeranimationsfilm Baymax findet eine Szene im Zentrum eines Wurmloches statt, das dem stilisierten Inneren einer Mandelbulb ähnelt.[3]
- Ein Alien im Science-Fiction-Horrorfilm Auslöschung als Teil einer Mandelbulb.[4]
- Das Geisterreich der Kerht im Webcomic Unsounded wird als goldene Mandelbulb dargestellt.[5]
Galerie
Die folgende Galerie zeigt verschiedene Ansichten und Besonderheiten der Mandelbulb, teils auch als Animation:
- Gesamtansicht
- Blick von oben
- Eine "Knolle"
- Der obere Teil
- Überblick über die "Lamellen"
- Eine "Lamelle" im Detail
- Eine Einbuchtung der Mandelbulb
- Ansicht einer aufgeschnittenen, hohlen Mandelbulb
Siehe auch
- Mandelbox
- Mandelbulber (Fraktalgenerierendes Programm; benannt nach der Mandelbulb)
Weiterführende Links
- Mandelbulb: The Unravelling of the Real 3D Mandelbrot Fractal, on Daniel White's website
- Mehrere Varianten der Mandelbulb auf Nylanders Webseite
- Ein fraktalgenerierendes Programm, das u.a. die Mandelbulb rendert.
- Formeln für Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb von Jules Ruis
- Mandelbulb/Juliabulb/Juliusbulb mit Beispielen realer 3D-Objekte
- Video : Blick auf die Mandelbulb
- Diskussion auf Fractalforums.com zum Thema Mandelbulb
- Animierter Flug um die Mandelbulb
Einzelnachweise
- Richard Rosenman: Hypercomplex Fractals. BUGMAN, 7. März 2009, abgerufen am 9. Juli 2020 (englisch).
- Mandelbulb: The Unravelling of the Real 3D Mandelbrot Fractal. siehe "Formel"-Bereich
- David Hutchins, Olun Riley, Jesse Erickson, Alexey Stomakhin, Ralf Habel, Michael Kaschalk: Big Hero 6 | ACM SIGGRAPH 2015 Talks. Abgerufen am 9. Juli 2020 (englisch).
- Emily Gaudette: What Is Area X and the Shimmer in 'Annihilation'? VFX Supervisor Explains the Horror Film's Mathematical Solution. NewsWeek, 26. Februar 2018, abgerufen am 26. Februar 2018 (englisch).
- Unsounded. Abgerufen am 9. Juli 2020 (englisch).