Mandelbox

In der Mathematik ist die Mandelbox ein Fraktal mit einer kastenartigen Form, das 2010 von Tom Lowe entdeckt wurde. Sie ist ähnlich wie die berühmte Mandelbrot-Menge definiert als die Werte eines Parameters, bei denen der Ursprung unter Iteration bestimmter geometrischer Transformationen nicht ins Unendliche entweicht.

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Mandelbox mit Skalierung -1,5 (weist in sich andere bekannte Fraktale auf)

Die Mandelbox ist als eine Abbildung kontinuierlicher Julia-Mengen definiert, kann aber im Gegensatz zur Mandelbrot-Menge in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen definiert werden und wird zur Veranschaulichung üblicherweise in drei Dimensionen gezeichnet.[1]

Vereinfachte Definition

Die einfache Definition der Mandelbox lautet: Für einen Vektor z wird für jede Komponente in z (die einer Dimension entspricht), wenn der Absolutwert der Komponente größer als 1 ist, entweder von 2 oder -2 subtrahiert, je nach z.

Generierung

Die Iteration wird wie folgt auf den Vektor z angewendet:

function iterate(z):
    for each component in z:
        if component > 1:
            component := 2 – component
        else if component < -1:
            component := -2 – component

    if magnitude of z < 0.5:
        z := z * 4
    else if magnitude of z < 1:
        z := z / (magnitude of z)^2

    z := scale * z + c

Dabei ist c die zu prüfende Konstante und scale eine reelle Zahl.

Eigenschaften

Wie auch bei der Mandelbrot-Menge oder anderen Fraktalen lassen sich Parameterwerte bei der Mandelbox verändern bzw. manipulieren.

Eine bemerkenswerte Eigenschaft der Mandelbox, insbesondere für den Skalierungswert -1,5, ist, dass sie Annäherungen an viele bekannte Fraktale enthält.[2][3][4]

Scale = -1,5: IFS-Strukturen: In der Mitte eine IFS-Struktur, drumherum weitere Fraktalstrukturen

Bei $1<|{\text{scale}}|<2$ weist die Mandelbox einen festen Kern auf. Folglich ist seine fraktale Dimension 3, oder n, wenn man sie auf n Dimensionen verallgemeinert.[5]

Bei ${\text{scale}}<-1$ haben die Seiten der Mandelbox die Länge 4. Bei $1<{\text{scale}}\leq 4{\sqrt {n}}+1$ haben sie die Länge $4\cdot {\frac {{\text{scale}}+1}{{\text{scale}}-1}}$ .[5]

Weiterführende Links

Einzelnachweise

Tom Lowe: What Is A Mandelbox?. Archiviert vom Original am 8. Oktober 2016. Abgerufen am 15. November 2016.
negative-mandelbox
more-negatives
mandelbox_3d_fractal
Rudi Chen: The Mandelbox Set.

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[1] Tom Lowe: What Is A Mandelbox?. Archiviert vom Original am 8. Oktober 2016. Abgerufen am 15. November 2016.

[2] tive-mandelbox

[3] re-negatives

[4] x_3d_fractal

[properties-5] Rudi Chen: The Mandelbox Set.