Maclaurin-Ungleichung

Die Maclaurin-Ungleichung (nach Colin Maclaurin) i​st eine Aussage a​us der Analysis, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik. Sie verschärft d​ie Ungleichung v​om arithmetischen u​nd geometrischen Mittel, d​ie besagt, d​ass das arithmetische Mittel v​on endlich vielen positiven reellen Zahlen s​tets mindestens s​o groß i​st wie i​hr geometrisches Mittel, i​n Formeln

${\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}}$

für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}>0}$. In der Verschärfung werden noch weitere Mittelwerte angegeben, die zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegen, beispielsweise besagt die Ungleichung für drei Zahlen ${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle {\frac {x+y+z}{3}}\geq {\sqrt {\frac {xy+yz+zx}{3}}}\geq {\sqrt[{3}]{xyz}}.}$

Aussage

Sind ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}}$ positive reelle Zahlen, und ist

${\displaystyle S_{k}={\frac {\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<...<i_{k}\leq n}a_{i_{1}}\cdots a_{i_{k}}}{n \choose k}},}$

dann gilt

${\displaystyle S_{1}\geq {\sqrt {S_{2}}}\geq ...\geq {\sqrt[{n}]{S_{n}}}.}$

Hinweis: ${\displaystyle S_{1}}$ ist das arithmetische Mittel der Zahlen, ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{S_{n}}}}$ das geometrische Mittel. Der Zähler von ${\displaystyle S_{k}}$ ist das elementarsymmetrische Polynom vom Grad ${\displaystyle k}$ in ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$.

Beweis

${\displaystyle f(x)=(x+a_{1})\cdots (x+a_{n})}$ lässt sich nach dem Satz von Vieta schreiben als ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}S_{k}\,x^{n-k}}$

${\displaystyle f^{(n-m)}(x)={\frac {n!}{m!}}\,(x+b_{1})\cdots (x+b_{m})={\frac {n!}{m!}}\,\sum _{k=0}^{m}{\frac {m!}{k!}}\,S_{k}\,{\frac {x^{m-k}}{(m-k)!}}}$

Nach dem Satz von Rolle sind ${\displaystyle b_{1},...,b_{m}\,}$ auch alle positiv.

Wieder nach dem Satz von Vieta ist ${\displaystyle b_{1}\cdots b_{m}=S_{m}}$ und ${\displaystyle {\hat {b_{1}}}\,b_{2}\cdots b_{m}+b_{1}\,{\hat {b_{2}}}\cdots b_{m}+...+b_{1}\,b_{2}\cdots {\hat {b_{m}}}=m\,S_{m-1}}$

Nach der AM-GM-Ungleichung ist ${\displaystyle {\frac {m\,S_{m-1}}{m}}\geq {\sqrt[{m}]{S_{m}^{m-1}}}\,\Longrightarrow \,{\sqrt[{m-1}]{S_{m-1}}}\geq {\sqrt[{m}]{S_{m}}}}$