Lokale Hölderstetigkeit

Die lokale Hölderstetigkeit i​st ein Konzept d​er Mathematik, d​as die Hölderstetigkeit u​nd damit a​uch die Lipschitzstetigkeit verallgemeinert. Sie i​st nach Otto Hölder benannt u​nd findet beispielsweise i​n der Wahrscheinlichkeitstheorie b​ei der Formulierung d​es Satzes v​on Kolmogorow-Tschenzow Verwendung. Dieser liefert Kriterien, w​ann Modifikationen e​ines stochastischen Prozesses existieren, d​ie lokal hölderstetig sind.

Definition

Gegeben seien zwei metrische Räume ${\displaystyle (E_{1},d_{1})}$ und ${\displaystyle (E_{2},d_{2})}$. Eine Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon E_{1}\to E_{2}}$

heißt lokal hölderstetig der Ordnung γ oder kurz lokal hölder-γ-stetig, wenn zu jedem ${\displaystyle t\in E_{1}}$ ein echt positives ${\displaystyle \varepsilon >0}$ und eine echt positive Zahl ${\displaystyle C=C(t,\varepsilon )>0}$ existiert, so dass für alle ${\displaystyle r,s\in E_{1}}$ mit ${\displaystyle d_{1}(r,t)<\varepsilon }$ und ${\displaystyle d_{1}(s,t)<\varepsilon }$ die Ungleichung

${\displaystyle d_{2}(\varphi (r),\varphi (s))\leq C\cdot d_{1}(r,s)^{\gamma }}$

gilt.

Beispiele

• Jede lipschitzstetige Funktion mit Lipschitzkonstante ${\displaystyle L}$ ist lokal hölderstetig mit Exponent ${\displaystyle \gamma =1}$ und ${\displaystyle C=L}$
• Jede hölderstetige Abbildung mit Konstante ${\displaystyle C}$ und Exponent ${\displaystyle \gamma }$ ist auch lokal hölderstetig mit Konstante ${\displaystyle C}$ und Exponent ${\displaystyle \gamma }$.

Eigenschaften

• Ist ${\displaystyle f}$ eine reellwertige Funktion einer reellen Variable und lokal hölderstetig mit Exponent ${\displaystyle \gamma \in (0,1]}$, so ist ${\displaystyle f}$ auch lokal hölderstetig für jeden Exponenten ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ mit ${\displaystyle 0\leq \gamma ^{*}\leq \gamma }$.
• Ist der Definitionsbereich von ${\displaystyle f}$ kompakt, so folgt aus der lokalen Hölderstetigkeit die Hölderstetigkeit. Im Allgemeinen ist dieser Schluss aber falsch.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 468–469, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.