Lokale Grenzwertsätze

Als lokale Grenzwertsätze bezeichnet m​an gewisse mathematische Sätze, d​ie zu d​en Grenzwertsätzen d​er Stochastik gezählt werden. Wie a​lle dieser Grenzwertsätze untersuchen d​ie lokalen Grenzwertsätze Folgen u​nd Summen v​on Zufallsvariablen. Im Gegensatz z​u diesen verwenden s​ie aber n​icht die klassischen Konvergenzbegriffe d​er Stochastik w​ie die Konvergenz i​n Verteilung, Konvergenz i​n Wahrscheinlichkeit o​der fast sichere Konvergenz, sondern untersuchen d​ie Konvergenz v​on Wahrscheinlichkeitsfunktionen u​nd Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen.

Aufgabenstellung

Gegeben sei eine Folge von Zufallsvariablen ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ mit Verteilungen ${\displaystyle P_{n}}$ und Wahrscheinlichkeitsfunktionen oder Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen ${\displaystyle f_{n}}$. Gesucht ist eine Wahrscheinlichkeits(dichte)funktion ${\displaystyle f}$ sowie Bedingungen, unter denen

${\displaystyle f_{n}}$ gegen ${\displaystyle f}$ konvergiert.

Mögliche Probleme sind

• Im Allgemeinen muss die Grenzfunktion selbst bei Konvergenz in Verteilung der ${\displaystyle X_{n}}$ keine Dichtefunktion besitzen.
• Selbst wenn die Zufallsvariablen in Verteilung gegen die Standardnormalverteilung konvergieren, müssen die Dichten im Allgemeinen nicht konvergieren.

Beispiel: Lokaler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace

Ein klassisches Beispiel ist der lokale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace. Ist ${\displaystyle p\in (0,1)}$, sei ${\displaystyle \varphi }$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Standardnormalverteilung und

${\displaystyle x_{n}(k)={\frac {k-np}{\sqrt {np(1-p)}}}}$.

Dann ist für beliebige ${\displaystyle c>0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\max _{\forall k \atop |x_{n}(k)|\leq c}\left|{\frac {{\sqrt {np(1-p)}}\operatorname {Bin} _{n,p}(\{k\})}{\varphi (x_{n}(k))}}-1\right|=0}$.

Weblinks

• V.V. Petrov: Local limit theorems. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• A.V. Prokhorov: Laplace theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Literatur

• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.