Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)

Als Lokal-Global-Prinzip (Hasse-Prinzip) bezeichnet m​an in d​er Zahlentheorie verschiedene Prinzipien, m​it denen i​n manchen Fällen a​us der Lösbarkeit diophantischer Gleichungen modulo a​ller Primzahlen a​uf die Lösbarkeit d​er ursprünglichen Gleichung geschlossen werden kann.

Der Name stammt v​on modernen Formulierungen, n​ach der d​ie Lösbarkeit i​n globalen Körpern a​us der Lösbarkeit i​n deren Vervollständigungen (den lokalen Körpern) gefolgert wird.

Reduktion diophantischer Gleichungen und chinesischer Restsatz

Eine diophantische Gleichung i​st eine Gleichung d​er Form

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc ,x_{n})=0}$,

wobei ${\displaystyle f}$ eine gegebene Polynomfunktion mit ganzzahligen Koeffizienten ist und nur ganzzahlige Lösungen gesucht werden.

Wenn ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})}$ eine ganzzahlige Lösung ist, dann sind offensichtlich auch für jede ganze Zahl ${\displaystyle p}$ die Restklassen modulo ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \left[x_{1}\right],\left[x_{2}\right],\left[x_{3}\right],\ldots ,\left[x_{n}\right]\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

Lösungen der modulo ${\displaystyle p}$ "reduzierten" Gleichung

${\displaystyle f(\left[x_{1}\right],\left[x_{2}\right],\left[x_{3}\right],\dotsc ,\left[x_{n}\right])=\left[0\right]\in \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} .}$

Es ist ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})}$ sogar genau dann eine ganzzahlige Lösung, wenn für alle Primzahlen ${\displaystyle p}$ die reduzierte Gleichung modulo ${\displaystyle p}$ gilt. Mithilfe des chinesischen Restsatzes erhält man außerdem, dass ${\textstyle f\equiv 0\mod m}$ genau dann für jede natürliche Zahl ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ lösbar ist, falls ${\textstyle f\equiv 0\mod p^{k}}$ für jede Primzahl ${\displaystyle p}$ und jede natürliche Zahl ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ eine Lösung besitzt.[1]

Es trifft a​ber im Allgemeinen n​icht zu, d​ass aus d​er Lösbarkeit d​er Gleichungen modulo j​eder Primzahl o​der sogar Primpotenz a​uch die Lösbarkeit i​n ganzen Zahlen folgt. Zum Beispiel h​at die Gleichung

${\displaystyle (x^{2}-2)(x^{2}-3)(x^{2}-6)=0}$

keine ganzzahlige Lösung, sie ist aber modulo jeder Primzahl ${\displaystyle p}$ lösbar, weil stets mindestens eine der Zahlen ${\displaystyle 2,3,6}$ ein quadratischer Rest ist.

Lokal-Global-Prinzipien werden heute in der Regel mittels der Vervollständigungen der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ formuliert, also der p-adischen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ (für alle Primzahlen ${\displaystyle p}$) und der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Man sagt dann, dass eine Gleichung ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc ,x_{n})=0}$, wobei ${\displaystyle f}$ eine Polynomfunktion mit rationalen Koeffizienten ist, dem Lokal-Global-Prinzip genügt, wenn aus der Lösbarkeit in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und in ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ für alle Primzahlen ${\displaystyle p}$ die Lösbarkeit der ursprünglichen Gleichung in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ folgt. Poonen und Voloch haben bewiesen, dass die Brauer-Manin-Obstruktion die einzige Obstruktion für das Lokal-Global-Prinzip ist.

Lokal-Global-Prinzip für quadratische Formen (Satz von Hasse-Minkowski)

Der Satz v​on Hasse-Minkowski besagt, d​ass das Lokal-Global-Prinzip für d​as Problem d​er Darstellung d​er Null d​urch eine gegebene quadratische Form über d​em Körper d​er rationalen Zahlen (das i​st der ursprüngliche Satz v​on Minkowski) o​der allgemeiner über e​inem Zahlkörper (das bewies Hasse 1921 i​n seiner Dissertation) gilt.

Wenn a​lso

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},\dotsc ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}}}$

eine quadratische Form mit Koeffizienten ${\displaystyle a_{ij}}$ in einem Zahlkörper (zum Beispiel dem Körper der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$) ist, dann folgt aus der Existenz von nichttrivialen Nullstellen in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und in allen p-adischen Vervollständigungen bereits die Existenz einer nichttrivialen Nullstelle im Zahlkörper.

Dieses Prinzip lässt sich nicht auf kubische Polynome verallgemeinern. Die Gleichung ${\displaystyle 3x^{3}+4y^{3}+5z^{3}=0}$ hat nichttriviale Lösungen in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und in allen ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$, aber nicht in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (Ernst Sejersted Selmer). Auch die Fermat-Gleichung ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ hat Lösungen in allen ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ und ${\displaystyle \mathbb {R} }$, aber nicht in den rationalen Zahlen.

Eng mit dem Lokal-Global-Prinzip für quadratische Formen hängt das Hasse-Prinzip für algebraische Gruppen zusammen. Dieses besagt, dass man für eine einfach zusammenhängende algebraische Gruppe über einem Zahlkörper ${\displaystyle k}$ einen Isomorphismus der Galois-Kohomologie

${\displaystyle H^{1}(k,G)\to \Pi _{k_{s}}H^{1}(k_{s},G)}$

hat, wobei ${\displaystyle k_{s}}$ alle Vervollständigungen von ${\displaystyle k}$ durchläuft.[2] Dieses Prinzip wurde beim Beweis der Weil-Vermutung für Tamagawa-Zahlen und des starken Approximationssatzes in algebraischen Gruppen verwandt.

Literatur

• Gerhard Frey: Elementare Zahlentheorie. Vieweg Studium: Grundkurs Mathematik, 56. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1984. ISBN 3-528-07256-3

Einzelnachweise

1. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Unveränderter Nachdruck der ersten Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 2007, ISBN 3-540-37547-3, S. 108–109.
2. Martin Kneser: Hasse principle for H¹ of simply connected groups. 1966 Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965) pp. 159–163 Amer. Math. Soc., Providence, R.I.