Liouvillesche Formel

Die liouvillesche Formel (benannt n​ach Joseph Liouville (1809–1882)) i​st eine Identität, welche d​ie Determinante d​er Fundamentalmatrix e​ines linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssystems erster Ordnung m​it der Spur d​er Koeffizientenmatrix verknüpft. Mit Hilfe d​er liouvilleschen Formel k​ann man beispielsweise d​ie abelsche Identität leicht beweisen.

Aussage

Sei ${\displaystyle J\subset \mathbb {R} }$ ein Intervall, ${\displaystyle A\colon J\rightarrow \mathbb {R} ^{n\times n}}$ stetig und ${\displaystyle \Phi }$ eine Matrixlösung von

${\displaystyle \ y'(x)=A(x)y(x)\ ,}$

das heißt ${\displaystyle \Phi \colon J\rightarrow \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ist differenzierbar mit ${\displaystyle \Phi '(x)=A(x)\Phi (x)}$. Dann gilt für alle ${\displaystyle x,\,x_{0}\in J}$ die liouvillesche Formel

${\displaystyle \det \Phi (x)=\det \Phi (x_{0})\cdot \exp \left(\int _{x_{0}}^{x}{\rm {Spur}}(A(\xi )){\rm {d}}\xi \right)\ .}$

Folgerungen

• Insbesondere ist ${\displaystyle \Phi (x)}$ entweder für alle ${\displaystyle x\in J}$ eine reguläre Matrix oder für kein ${\displaystyle x\in J}$. Im ersteren Fall nennt man ${\displaystyle \Phi }$ eine Fundamentalmatrixlösung oder kurz Fundamentalmatrix. Gilt zudem ${\displaystyle \Phi (x_{0})=I}$, so heißt ${\displaystyle \Phi }$ die Hauptfundamentalmatrixlösung in ${\displaystyle x_{0}}$.
• Sei ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ eine feste Matrix. Im Spezialfall ${\displaystyle \Phi (x):=e^{xA}}$ der Matrixexponentialfunktion erhält man aus der liouvilleschen Formel

${\displaystyle \det(e^{xA})=e^{x\cdot {\textrm {Spur}}(A)}\ ,}$

da ${\displaystyle \Phi }$ Hauptfundamentalmatrixlösung für ${\displaystyle y'(x)=Ay(x)}$ in ${\displaystyle 0}$ ist.

Literatur

• Carmen Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications. 2. Auflage. (Texts in Applied Mathematics, 34) Springer-Verlag, 2006, ISBN 0-387-30769-9.