Abelsche Identität

Die abelsche Identität i​st ein Ausdruck für d​ie Wronski-Determinante zweier linear unabhängiger homogener Lösungen e​iner linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die Beziehung w​urde 1827 v​on dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802–1829) hergeleitet.

Aussage

Gegeben s​ei die lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung

${\displaystyle y''(x)-a_{1}(x)y'(x)-a_{0}(x)y(x)=0}$.

Für d​ie Wronski-Determinante v​on zwei Lösungen d​er Differentialgleichung g​ilt dann

${\displaystyle W(x)=W(x_{0})\ \exp \left(\int _{x_{0}}^{x}a_{1}(\xi )\,\mathrm {d} \xi \right)}$.

Beweis

Nach Definition ist ${\displaystyle W(x)=\det \Phi (x)}$, worin ${\displaystyle \Phi }$ ein Fundamentalsystem für die Differentialgleichung

${\displaystyle Y'(x)=A(x)Y(x)}$ mit ${\displaystyle A(x):={\begin{pmatrix}0&1\\a_{0}(x)&a_{1}(x)\\\end{pmatrix}}}$

ist. Gemäß d​er liouvilleschen Formel gilt

${\displaystyle W(x)=W(x_{0})\ \exp \left(\int _{x_{0}}^{x}\mathrm {Spur} (A(\xi ))\ \mathrm {d} \xi \right)=W(x_{0})\ \exp \left(\int _{x_{0}}^{x}a_{1}(\xi )\,\mathrm {d} \xi \right)}$.

${\displaystyle \Box }$

Anwendung

Die abelsche Identität erlaubt es, die Wronski-Determinante bei bekanntem Wert an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ für alle anderen ${\displaystyle x}$ zu berechnen. Insbesondere ist die Wronski-Determinante konstant, wenn ${\displaystyle a_{1}(x)\equiv 0}$ gilt. Aufgrund der Beziehung, die die Wronski-Determinante zwischen zwei linear unabhängigen Lösungen herstellt, erlaubt sie unter Umständen, die eine aus der anderen zu berechnen.

Literatur

• W. Boyce, R. Di Prima: Elementary differential equations and boundary value problems. Wiley, New York 1969.
• Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (mat.univie.ac.at).

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Abel’s Differential Equation Identity. In: MathWorld (englisch).