Liouville-Funktion

Die Liouville-Funktion, benannt nach Joseph Liouville, ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Sie wird mit dem griechischen Buchstaben ${\displaystyle \lambda }$ bezeichnet und ist wie folgt definiert:

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)},\,}$

dabei bezeichnet ${\displaystyle \Omega (n)}$ die Ordnung von ${\displaystyle n}$, also die Anzahl seiner (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren.

Man definiert außerdem ${\displaystyle \lambda (0)=0}$ und ${\displaystyle \lambda (1)=1}$.

Die ersten Werte (beginnend bei ${\displaystyle n=1}$) sind

1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, … (OEIS,A008836[1])[2]

Eigenschaften

Es gilt[3]

${\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1,\qquad \mathrm {wenn} \;n\;\mathrm {eine\;Quadratzahl\;ist} \\0,\qquad \mathrm {sonst.} \end{cases}}}$

Die Liouville-Funktion ist verwandt mit der Möbius-Funktion ${\displaystyle \mu }$ durch[4]

${\displaystyle \lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right).}$

Reihen

Die Dirichlet-Reihe der Liouville-Funktion lässt sich durch die riemannschen Zeta-Funktion ${\displaystyle \zeta }$ ausdrücken:[5]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}.}$

Ihre Lambert-Reihe i​st gegeben durch

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}(\vartheta _{3}(q)-1),}$

wobei ${\displaystyle \vartheta _{3}}$ die Jacobische Theta-Funktion bezeichnet.

Summen

Graph von ${\displaystyle L_{n}}$ bis n=10.000

Graph von ${\displaystyle L_{n}}$ bis ${\displaystyle 10^{7}}$

Es sei

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k).}$

Die Pólya-Vermutung besagt, e​s sei – w​ie die Grafiken rechts vermuten lassen – stets[6]

${\displaystyle L(n)\leq 0.}$

Diese Vermutung wurde mittlerweile widerlegt; das kleinste Gegenbeispiel ist ${\displaystyle n=906150257}$. Es ist bisher allerdings nicht bekannt, ob ${\displaystyle L}$ sein Vorzeichen unendlich oft wechselt.

Eine verwandte Summe ist

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}.}$

Für diese wurde vermutet, sie sei für hinreichend große ${\displaystyle n}$ stets positiv; dies wurde 1958 von dem englischen Mathematiker Colin Brian Haselgrove widerlegt, wobei er zeigte, dass ${\displaystyle M}$ unendlich oft negative Werte annimmt.[7] Ein Beweis der Vermutung hätte die Richtigkeit der riemannschen Vermutung zur Folge gehabt.[8]

Chowla-Vermutung

Eine Vermutung von Sarvadaman Chowla[9] besagt, dass für ${\displaystyle k}$ verschiedene natürliche Zahlen ${\displaystyle h_{1},\ldots ,h_{k}}$ gilt:

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}\lambda (n+h_{1})\cdot \cdot \cdot \lambda (n+h_{k})=o(x)}$

(das heißt die Summe verschwindet asymptotisch mit ${\displaystyle x\to \infty }$, siehe Landau-Symbole). Die Vermutung ist offen für ${\displaystyle k\geq 2}$. Fortschritte erzielten 2015 Kaisa Matomäki, Maksym Radziwill und Terence Tao in Bezug auf eine gemittelte Version der Vermutung.[10] Die Vermutung lässt sich auch für die Möbiusfunktion statt der Liouvillefunktion formulieren.

Eine andere Formulierung der Vermutung ist, dass das Muster der Werte von ${\displaystyle \lambda (n),\cdot \cdot \cdot ,\lambda (n+k)}$ für eine zufällig gewählte natürliche Zahl ${\displaystyle n\leq x}$ und beliebige ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ asymptotisch für ${\displaystyle x\to \infty }$ gleichverteilt ist.[11]

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Liouville Function. In: MathWorld (englisch).
• A. F. Lavrik: Liouville function. In: Online Encyclopedia of Mathematics. (englisch)
• Kimberly Lloyd: Liouville function. Auf: PlanetMath.org. (englisch)

Einzelnachweise

1. A008836 Liouville's function lambda(n) = (-1)^k, where k is number of primes dividing n (counted with multiplicity). (englisch) The OEIS Foundation. Abgerufen am 16. Juli 2019.
2. Vgl. Folgen A026424 und A028260.
3. Kimberly Lloyd: Liouville function. Auf: PlanetMath.org. (englisch)
4. A. F. Lavrik: Liouville function. In: Online Encyclopedia of Mathematics. (englisch)
5. Russell Sherman Lehman: On Liouville's Function. (PDF; 824 kB) In: Mathematics of Compution ⟨American Mathematical Society⟩ 14 (1960), Nr. 72, S. 311–320.
6. Eric W. Weisstein: Polya Conjecture. In: MathWorld (englisch).
7. Colin Brian Haselgrove: A disproof of a conjecture of Polya. In: Mathematika ⟨London Mathematical Society⟩ 5 (1958), Nr. 2, S. 141–145.
8. Hisanobu Shinya: On an arithmetical approach to the Riemann hypothesis. In: arxiv:0906.4155 (23. Juni 2009).
9. Sarvadaman Chowla: The Riemann Hypothesis and Hilbert´s tenth problem, Gordon and Breach 1965
10. K. Matomäki, M. Radziwill, Terence Tao: An averaged form of Chowla´s conjecture, Algebra & Number Theory, Band 9, 2015, S. 2167–2196, Arxiv
11. Sign patterns of Liouville and Mobius functions, Blog Terry Tao