Lindeberg-Bedingung

Die Lindeberg-Bedingung i​st ein Begriff a​us der Stochastik. Erfüllt e​ine Folge v​on stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen d​iese Bedingung, s​o gilt für s​ie der Zentrale Grenzwertsatz, a​uch wenn d​ie Zufallsvariablen n​icht zwingenderweise identisch verteilt sind. Allgemeiner lässt s​ich die Lindeberg-Bedingung a​uch für Schemata v​on Zufallsvariablen formulieren, h​ier ist d​ann sogar e​in gewisses Maß a​n Abhängigkeit zwischen d​en Zufallsvariablen zulässig. Diese Formulierung spielt e​ine wichtige Rolle i​m zentralen Grenzwertsatz v​on Lindeberg-Feller, e​iner Verallgemeinerung d​es "gewöhnlichen" zentralen Grenzwertsatzes.

Die Lindeberg-Bedingung w​urde nach d​em finnischen Mathematiker Jarl Waldemar Lindeberg benannt. Eine weitere hinreichende Bedingung für d​en zentralen Grenzwertsatz i​st die Ljapunow-Bedingung.

Formulierung für Folgen von Zufallsvariablen

Seien ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$ unabhängige, quadratisch integrierbare Zufallsvariablen mit ${\displaystyle {\sigma _{n}}^{2}:={\mbox{Var}}(X_{n})>0}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und seien

${\displaystyle s_{n}:={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}{\sigma _{k}}^{2}}}\quad ,\quad \mu _{n}:={\mbox{E}}(X_{n})}$.

Gilt d​ann die Lindeberg-Bedingung

${\displaystyle \forall \ \varepsilon >0:\quad \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\mbox{E}}\left({\frac {(X_{i}-\mu _{i})^{2}}{s_{n}^{2}}}\cdot 1_{\left\{|X_{i}-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\right\}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\int _{\left\{|x-\mu _{i}|>\varepsilon s_{n}\right\}}(x-\mu _{i})^{2}P_{X_{i}}(dx)=0}$ ,

wobei ${\displaystyle 1_{T}}$ die Indikatorfunktion bezeichnet, so genügt die Folge ${\displaystyle (X_{i})_{i}}$ dem zentralen Grenzwertsatz, d. h. die Größe

${\displaystyle {\frac {1}{s_{n}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu _{i})}$

konvergiert in Verteilung für ${\displaystyle n\to \infty }$ gegen eine standardnormalverteilte Zufallsgröße ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$, sprich

${\displaystyle \forall \ z\in \mathbb {R}$ :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }{\mbox{P}}\left({\frac {1}{s_{n}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu _{i})\leq z\right)={\mbox{P}}(Z\leq z)=\Phi (z)} ,

wobei hier ${\displaystyle \Phi }$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung beschreibt.

Umkehrung

Die Umkehrung des obigen Sachverhaltes gilt i. A. nicht. Hierfür ist eine zusätzliche Forderung an die Folge ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ notwendig:

Die unabhängige Folge ${\displaystyle (X_{i})_{i}}$ quadratisch integrierbarer, reeller Zufallsvariablen mit ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}>0\ \forall i}$ genüge dem zentralen Grenzwertsatz und erfülle weiter die Feller-Lévy-Bedingung[1]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\max _{j\in \{1,...,n\}}{\frac {\sigma _{j}}{s_{n}}}\right)=0}$ .

Dann erfüllt die Folge ${\displaystyle (X_{i})_{i}}$ auch die Lindeberg-Bedingung.

Formulierung für Schemata von Zufallsvariablen

Gegeben sei ein zentriertes Schema von Zufallsvariablen ${\displaystyle (X_{n,l}),n\in \mathbb {N} ,l=1,\ldots ,k_{n}}$, bei dem jede Zufallsvariable ${\displaystyle X_{n,l}}$ quadratintegrierbar ist, und seien

${\displaystyle S_{n}:=\sum _{l=1}^{k_{n}}X_{n,l}}$

die Summen über die zweiten Indizes. Das Schema erfüllt nun die Lindeberg-Bedingung, wenn für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ gilt, dass

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\operatorname {Var} (S_{n})}}\sum _{l=1}^{k_{n}}\operatorname {E} \left(X_{n,l}^{2}\chi _{\{X_{n,l}^{2}>\varepsilon ^{2}\operatorname {Var} (S_{n})\}}\right)=0}$

ist.

Literatur

• Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. De Gruyter, Berlin/New York 2002, ISBN 3110172364, S. 239.
• J. W. Lindeberg: Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. In: Mathematische Zeitschrift, Band 15, 1922, S. 211–225.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.

Weblink

• Eric W. Weisstein: Lindeberg Condition. auf MathWorld.

Einzelnachweise

1. Eric W. Weisstein: Feller-Lévy Condition. In: MathWorld (englisch).