Liesche Sätze

In d​er Mathematik stellen d​ie Lie’schen Sätze, benannt n​ach Sophus Lie, d​en Zusammenhang zwischen Lie-Gruppen u​nd Lie-Algebren her.

Lie-Gruppen und Lie-Algebren

→ Hauptartikel: Lie-Gruppe

Eine Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die zusätzlich die Struktur einer Gruppe besitzt, so dass die Gruppenverknüpfung und die Inversion beliebig oft differenzierbar sind.

Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ist der Vektorraum der links-invarianten Vektorfelder mit dem Kommutator als Lie-Klammer. Die Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ kann auf kanonische Weise mit dem Tangentialraum im neutralen Element der Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ identifiziert werden:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\simeq T_{e}G}$.

Lie’sche Sätze

Satz (Dritter Lie’scher Satz, auch Satz von Lie-Cartan): Für jede endlich-dimensionale reelle Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ gibt es eine einfach zusammenhängende Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$, deren Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ist.

Satz (Zweiter Lie’scher Satz): Seien ${\displaystyle G,H}$ Lie-Gruppen mit Lie-Algebren ${\displaystyle {\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}}$ und sei ${\displaystyle G}$ einfach zusammenhängend. Dann gibt es zu jedem Lie-Algebren-Homomorphismus ${\displaystyle f\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$ einen eindeutigen Lie-Gruppen-Homomorphismus ${\displaystyle F\colon G\to H}$ mit ${\displaystyle f=D_{e}F}$.

Historisches und Anmerkungen

Der e​rste Lie’sche Satz i​st eine r​ein lokale Aussage, d​ie die Wirkung e​iner Lie-Gruppe a​uf sich selbst i​n lokalen Koordinaten a​ls Lösung gewisser Differentialgleichungen m​it analytischen Koeffizienten beschreibt.[1]

Auch d​er dritte Lie’sche Satz w​ar von Sophus Lie ursprünglich n​ur in e​iner lokalen Version bewiesen worden, d​ie hier zitierte globale Form g​eht auf Élie Cartan zurück.

Im dritten Lie’schen Satz erhält man neben der einfach zusammenhängenden Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ noch weitere (nicht einfach zusammenhängende) Lie-Gruppen mit Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ als Faktorgruppe ${\displaystyle G/D}$, wobei ${\displaystyle D\subset Z(G)}$ eine diskrete Untergruppe des Zentrums von ${\displaystyle G}$ ist.

Literatur

• Gilmore, Robert: Lie groups, Lie algebras, and some of their applications. Reprint of the 1974 original. Robert E. Krieger Publishing Co., Inc., Malabar, FL, 1994. ISBN 0-89464-759-8
• Hilgert, Joachim; Neeb, Karl-Hermann: Structure and geometry of Lie groups. Springer Monographs in Mathematics. Springer, New York, 2012. ISBN 978-0-387-84793-1
• W. Van Est: Une démonstration de E. Cartan du troisième théorème de Lie. Actions Hamiltoniennes des groupes, troisième théorème de Lie, travail en cours, Volume 27, Hermann Paris, 1987.

Weblinks

• Lie's three theorems in nLab
• Robert Bryant: Cartan's generalization of Lie's third theorem (PDF; 106 kB)
• Johannes Ebert: Lie's third theorem, after Cartan-van Elst

Einzelnachweise

1. Lie theorem Encyclopedia of Mathematics