Lie-Produktformel

Die Lie-Produktformel o​der liesche Produktformel, benannt n​ach Sophus Lie, i​st eine Formel z​ur Berechnung d​es Wertes d​er Exponentialfunktion v​on einer Summe zweier quadratischer Matrizen. Wegen späterer Verallgemeinerungen d​urch Hale Trotter spricht m​an auch v​on der Trotter-Produktformel o​der Lie-Trotter-Produktformel.

Die Produktformel

Seien ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ zwei quadratische Matrizen gleicher Größe über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$, etwa ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen. Dann kann man ihre Summe ${\displaystyle A+B}$ bilden. Ferner kann man die Exponentialfunktion von quadratischen Matrizen durch Einsetzen in die Exponentialreihe definieren, das heißt

${\displaystyle e^{A}:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}}$.

Dabei wird der Grenzwert der Reihe im Raum der ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen gebildet, das heißt komponentenweise. Mit diesen Daten gilt die Lie-Produktformel:[1][2][3]

${\displaystyle e^{A+B}=\lim _{N\to \infty }\left(e^{A/N}e^{B/N}\right)^{N}}$.

Bemerkung

Die a​us der Analysis bekannte Formel für d​ie Exponentialfunktion e​iner Summe g​ilt nur eingeschränkt:

${\displaystyle e^{A+B}=e^{A}e^{B}}$   falls   ${\displaystyle AB=BA}$,

denn falls die Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ vertauschen, kann man den aus der Analysis bekannten Beweis der Formel

${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$   für alle   ${\displaystyle x,y\in \mathbb {K} }$ (${\displaystyle \mathbb {K} }$ steht für ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$)

einfach kopieren. Die Lie-Produktformel verallgemeinert diese Situation, denn wenn ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ vertauschen, so vertauschen auch ${\displaystyle \textstyle e^{A/N}}$ und ${\displaystyle \textstyle e^{B/N}}$ und man erhält

${\displaystyle \left(e^{A/N}e^{B/N}\right)^{N}=\left(e^{A/N}\right)^{N}\left(e^{B/N}\right)^{N}=e^{A}e^{B}}$.

Anwendung

Ist ${\displaystyle G}$ eine abgeschlossene Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {K} )}$, so definiert man die zugeordnete Lie-Algebra durch

${\displaystyle L(G):=\{A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {K} )\mid e^{tA}\in G{\text{ für alle }}t\in \mathbb {R} \}}$.

Bei dieser Definition ist nicht einmal klar, dass die so definierte Menge ${\displaystyle L(G)}$ überhaupt ein Vektorraum ist. Offensichtlich ist nur, dass mit ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ und ${\displaystyle A\in L(G)}$ auch ${\displaystyle aA\in L(G)}$ ist, denn es ist ${\displaystyle e^{tA}\in G}$ für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ genau dann, wenn ${\displaystyle e^{taA}\in G}$ für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. Um zu zeigen, dass ${\displaystyle L(G)}$ auch bzgl. der Addition abgeschlossen ist, verwendet man obige Lie-Produktformel wie folgt.[4]

Seien ${\displaystyle A,B\in L(G)}$. Dann ist definitionsgemäß ${\displaystyle \textstyle e^{tA/N},e^{tB/N}\in G}$ für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ,N\in \mathbb {N} }$. Da ${\displaystyle G}$ eine Gruppe ist, folgt auch ${\displaystyle \textstyle \left(e^{tA/N}e^{tB/N}\right)^{N}\in G}$ für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ,N\in \mathbb {N} }$. Da ${\displaystyle G}$ abgeschlossen ist, enthält ${\displaystyle G}$ auch den Grenzwert für ${\displaystyle N\to \infty }$, und das führt nach der Lie-Produktformel zu ${\displaystyle \textstyle e^{tA+tB}\in G}$ und damit auch ${\displaystyle \textstyle e^{t(A+B)}\in G}$ für alle ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. Aber das bedeutet definitionsgemäß ${\displaystyle A+B\in L(G)}$.

Verallgemeinerungen

Die Lie-Produktformel gilt allgemeiner in beliebigen Banachalgebren mit Einselement. Die Exponentialfunktion eines Elements der Banachalgebra kann wieder über die Exponentialreihe definiert werden. Sind ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ Elemente einer solchen Banachalgebra, so gilt:[5]

${\displaystyle e^{A+B}=\lim _{N\to \infty }\left(e^{A/N}e^{B/N}\right)^{N}}$

Insbesondere gilt die Formel für alle beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum.[6] Auf unendlichdimensionalen Hilberträumen sind aber auch gewisse unbeschränkte Operatoren, die dicht-definierten, selbstadjungierten Operatoren ${\displaystyle A}$ mit Definitionsbereich ${\displaystyle D(A)}$ von besonderem Interesse. Für diese können mittels des Spektralsatzes die unitären Operatoren ${\displaystyle \textstyle e^{\mathrm {i} tA},\,t\in \mathbb {R} }$ gebildet werden. Dann gilt folgende auf Hale Trotter zurückgehende Verallgemeinerung, die man die Trotter-Produktformel oder Lie-Trotter-Produktformel nennt:

Seien ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ zwei selbstadjungierte Operatoren mit Definitionsbereichen ${\displaystyle D(A)}$ bzw. ${\displaystyle D(B)}$ in einem komplexen Hilbertraum, so dass ${\displaystyle A+B}$ auf ${\displaystyle D(A)\cap D(B)}$ wesentlich selbstadjungiert ist. Dann gilt[7]

${\displaystyle e^{\mathrm {i} t(A+B)}=s-\lim _{N\to \infty }\left(e^{\mathrm {i} tA/N}e^{\mathrm {i} tB/N}\right)^{N}}$.

Dabei bedeutet ${\displaystyle s-\lim }$ Konvergenz bzgl. der starken Operatortopologie, das heißt, wendet man beide Seiten der Formel auf einen festen Vektor des Hilbertraums an, so liegt Normkonvergenz vor.

Da die ${\displaystyle \textstyle e^{\mathrm {i} tA}}$ unitär sind und daher als beschränkte Operatoren die Norm 1 haben, handelt es sich um den Prototyp einer kontraktiven, stark stetigen Halbgruppe auf einem Banachraum. Die Lie-Trotter-Produktformel lässt sich auf diese Situation wie folgt verallgemeinern, wobei ${\displaystyle \textstyle e^{tA}}$ den ${\displaystyle t}$-ten Halbgruppenoperator zum Erzeuger ${\displaystyle A}$ bezeichnet:[8][9]

Seien ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$ Erzeuger kontraktiver, stetiger Halbgruppen auf einem Banachraum ${\displaystyle X}$, und es sei ${\displaystyle Cx=Ax+Bx}$ für alle ${\displaystyle x}$ aus einem wesentlichen Bereich von ${\displaystyle C}$. Dann gilt

${\displaystyle e^{tC}=s-\lim _{N\to \infty }\left(e^{tA/N}e^{tB/N}\right)^{N}}$   für alle    ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$,

das heißt

${\displaystyle e^{tC}x=\lim _{N\to \infty }\left(e^{tA/N}e^{tB/N}\right)^{N}x}$   für alle    ${\displaystyle x\in X}$ und ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$

Einzelnachweise

1. Brian C. Hall: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations, Springer-Verlag 2003, ISBN 0-387-40122-9, Theorem 2.10
2. Rajemdra Bathia: Matrix Analysis, Springer-Verlag 1997, ISBN 0-387-94846-5, Theorem IX.1.3
3. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, Lemma I.2.13
4. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, Beweis zu Proposition I.3.1
5. C. Touré, F. Schulz, R. Brits: Some character generating functions on Banach algebras, Theorem 1.6
6. Piotr Soltan: A Primer on Hilbert Space Operators, Birkhäuser-Verlag, ISBN 978-3-319-92060-3, Theorem 4.17
7. Barry Simon: Functional Integration and Quantum Physics, Academic Press Inc 1979, ISBN 0-12-644250-9, Theorem 1.1.
8. E. B. Davies: One Parameter Semigroups, Academic Press 1980, ISBN 0-12-206280-9, Theorem 3.30
9. H. F. Trotter: On the product of semi-groups of operators, Proc. Amer. Math. Soc. (1959), Band 10, Seiten 545–551