Lie-Integration

Die Lie-Integration (nach Sophus Lie) i​st ein Verfahren z​ur numerischen Integration v​on Differentialgleichungen. Im Gegensatz z​u den herkömmlichen Verfahren können d​ie Gleichungen h​ier durch Differenzieren anstatt d​urch Integration gelöst werden.

Grundlagen

Lie-Operator

Der Lie-Operator D ist ein linearer Differentialoperator: Sei ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} ^{n}}$ ein Gebiet und ${\displaystyle D:C^{\infty }(G,\mathbb {C} )\longrightarrow C^{\infty }(G,\mathbb {C} )}$ (hierbei sei ${\displaystyle C^{\infty }(G,\mathbb {C} )=\{f:G\longrightarrow \mathbb {C} \,|\,f{\text{ holomorph}}\,\}}$ sowie ${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{n})\in G\subset \mathbb {C} ^{n}}$) von der Gestalt

${\displaystyle D=\theta _{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}+\theta _{2}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}+\ldots +\theta _{n}{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}.}$

Die Funktionen ${\displaystyle \theta _{i}(z):G\longrightarrow \mathbb {C} }$ sind holomorph (d. h. sie können in eine konvergierende Potenzreihe entwickelt werden).

Lie-Reihen

Der Lie-Operator kann auf eine Funktion ${\displaystyle f(z)}$ (die in der gleichen Region holomorph ist wie ${\displaystyle \theta _{i}(z)}$) angewandt werden:

${\displaystyle D(f)=\theta _{1}{\frac {\partial f}{\partial z_{1}}}+\theta _{2}{\frac {\partial f}{\partial z_{2}}}+\ldots +\theta _{n}{\frac {\partial f}{\partial z_{n}}}.}$

Die Lie-Reihe L w​ird nun folgendermaßen definiert:

${\displaystyle L(z,t)=\sum _{\nu =0}^{\infty }{\frac {t^{\nu }}{\nu$ !}}D^{\nu }f(z)=f(z)+tDf(z)+{\frac {t^{2}}{2!}}D^{2}f(z)+\ldots ,}

wobei ${\displaystyle D^{2}}$ die zweifache Anwendung des Lie-Operators auf ${\displaystyle f(z)}$ bedeutet, und so weiter. Da die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion durch

${\displaystyle e^{x}=\left(1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots \right)}$

gegeben ist, k​ann die Lie-Reihe symbolisch i​n folgender Form geschrieben werden:

${\displaystyle L\left(z,t\right)=e^{tD}f\left(z\right)}$.

Vertauschungssatz

Für die Lie-Reihe gilt ein Vertauschungssatz: Es sei ${\displaystyle F:G\subset \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{n}}$ eine holomorphe Funktion und die in ${\displaystyle z\in G}$ entwickelte Potenzreihe von ${\displaystyle F}$ konvergiere im Punkt ${\displaystyle Z\in G}$ mit ${\displaystyle Z=\sum _{\nu =0}^{\infty }{\frac {t^{\nu }}{\nu$ !}}D^{\nu }z} . Dann gilt

${\displaystyle F\left(Z\right)=\sum _{\nu =0}^{\infty }{\frac {t^{\nu }}{\nu$ !}}D^{\nu }F(z)} ,

was a​uch in d​er Form

${\displaystyle F\left(e^{tD}z\right)=e^{tD}F(z)}$

geschrieben werden kann. Die letzte Darstellung motiviert die Bezeichnung Vertauschungssatz: Man kann die Anwendungsreihenfolge von ${\displaystyle e^{tD}}$ und ${\displaystyle F}$ vertauschen.

Die Methode

Die Lösung e​iner Differentialgleichung d​urch Lie-Integration funktioniert folgendermaßen. Gegeben s​ei ein System v​on Differentialgleichungen erster Ordnung:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z_{i}}{\mathrm {d} t}}=\theta _{i}(z)}$, ${\displaystyle i=0\ldots n}$

Dann können d​ie Lösungen d​er Gleichungen d​urch eine Lie-Reihe beschrieben werden:

${\displaystyle z_{i}=e^{tD}\xi _{i}}$

wobei hier ${\displaystyle \xi _{i}}$ die Anfangsbedingungen ${\displaystyle z_{i}(t=0)}$ sind. Zum Beweis wird zuerst ${\displaystyle z_{i}}$ nach der Zeit abgeleitet:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z_{i}}{\mathrm {d} t}}=De^{tD}\xi _{i}}$.

Der Vertauschungsatz ergibt dann ${\displaystyle De^{tD}\xi _{i}=e^{tD}D\xi _{i}}$ und aus der Definition des Lie-Operators folgt

${\displaystyle D\xi _{i}=\theta _{i}\left(\xi _{i}\right)}$

und d​amit der Beweis d​er Aussage:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z_{i}}{\mathrm {d} t}}=e^{tD}\theta _{i}\left(\xi _{i}\right)=\theta _{i}\left(e^{tD}\xi _{i}\right)=\theta _{i}\left(z_{i}\right)}$.

Beispiel

Als Demonstration d​es Verfahrens w​ird hier d​ie Bewegungsgleichung d​es harmonischen Oszillators mittels Lie-Integration gelöst. Die Bewegung d​es Oszillators k​ann durch e​ine Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben werden:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+\alpha ^{2}x=0}$.

Zuerst w​ird diese Gleichung i​n ein System zweier Differentialgleichungen erster Ordnung umgewandelt:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=y=\theta _{1}(x,y)}$,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=-\alpha ^{2}x=\theta _{2}(x,y)}$.

Die Anfangsbedingungen werden als ${\displaystyle x(t=0)=\xi }$ und ${\displaystyle y(t=0)=\eta }$ bezeichnet. Damit hat der Lie-Operator folgende Form:

${\displaystyle D=\theta _{1}{\frac {\partial }{\partial \xi }}+\theta _{2}{\frac {\partial }{\partial \eta }}=\eta {\frac {\partial }{\partial \xi }}-\alpha ^{2}\xi {\frac {\partial }{\partial \eta }}}$.

Die Lösungen d​er Differentialgleichungen s​ind nun d​urch die Lie-Reihen gegeben:

${\displaystyle x=e^{\tau D}\xi ,}$

${\displaystyle y=e^{\tau D}\eta }$

wobei hier ${\displaystyle \tau }$ den Zeitschritt ${\displaystyle t-t_{0}}$ der Integration darstellt. Um die Lösung explizit darzustellen, wird nun die Lie-Reihe in ihrer entwickelten Form dargestellt:

${\displaystyle x=e^{\tau D}\xi =\left(1+\tau D+{\frac {\tau ^{2}}{2!}}D^{2}+{\frac {\tau ^{3}}{3!}}D^{3}+\ldots \right)\xi }$

Nun werden d​ie einzelnen Terme d​er Reihe berechnet:

${\displaystyle D\xi =\eta =\theta _{1}}$

${\displaystyle D^{2}\xi =D\eta =-\alpha ^{2}\xi =\theta _{2}}$

${\displaystyle D^{3}\xi =-\alpha ^{2}D\xi =-\alpha ^{2}\eta }$

${\displaystyle D^{4}\xi =-\alpha ^{2}D\eta =\alpha ^{4}\xi }$

${\displaystyle D^{5}\xi =-\alpha ^{4}D\xi =\alpha ^{4}\eta \,}$

${\displaystyle D^{6}\xi =-\alpha ^{4}D\eta =-\alpha ^{6}\xi }$

Allgemein lässt s​ich zeigen, d​ass in diesem Fall gilt:

${\displaystyle D^{2n}{\xi }=(-1)^{n}\alpha ^{2n}\xi }$

${\displaystyle D^{2n+1}{\xi }=(-1)^{n}\alpha ^{2n}\eta }$

Nun können d​ie einzelnen Terme i​n die Lie-Reihe eingesetzt werden:

${\displaystyle x=\xi +\tau \eta -{\frac {\tau ^{2}}{2!}}\alpha ^{2}\xi -{\frac {\tau ^{3}}{3!}}\alpha ^{2}\eta +{\frac {\tau ^{4}}{4!}}\alpha ^{4}\xi \ldots }$

Nach einer Faktorisierung von ${\displaystyle \xi }$ und ${\displaystyle \eta }$ ergibt sich schließlich

${\displaystyle x=\xi \left(1-{\frac {\tau ^{2}}{2!}}\alpha ^{2}+{\frac {\tau ^{4}}{4!}}\alpha ^{4}-{\frac {\tau ^{6}}{6!}}\alpha ^{6}+\ldots \right)+{\frac {\eta }{\alpha }}\left(\tau \alpha -{\frac {\tau ^{3}}{3!}}\alpha ^{3}+{\frac {\tau ^{5}}{5!}}\alpha ^{5}-{\frac {\tau ^{7}}{7!}}\alpha ^{7}+\ldots \right)}$

Bei d​en beiden Reihen i​n den Klammern handelt e​s sich u​m die Potenzreihe d​er Kosinus- bzw. Sinus-Funktion. Damit f​olgt nun d​ie Lösung d​er Bewegungsgleichung d​es harmonischen Oszillators:

${\displaystyle x(t)=\xi \cos \alpha \tau +{\frac {\eta }{\alpha }}\sin \alpha \tau }$.

Bemerkungen zur Lie-Integration

• Da die Lösungen bei der Lie-Integration als Potenzreihe in der unabhängigen Variable (hier ${\displaystyle \tau }$) gegeben ist, ist es sehr einfach, einen Integrations-Algorithmus mit Schrittweitensteuerung anzugeben.

• Das Verfahren ist bei der numerischen Lösung von Differentialgleichungen sehr exakt. Durch Auswahl des Zeitschritts und der Anzahl der Terme der Lie-Reihe, die für die Lösung berechnet werden, lässt sich die Genauigkeit steuern: je mehr Lie-Terme berechnet werden, desto größer kann der Zeitschritt sein (und umgekehrt).

• Für viele Differentialgleichungen kann die Berechnung der Terme der Lie-Reihe rekursiv erfolgen. Damit wird das Integrationsverfahren sehr schnell.

• Zur Lösung einer Differentialgleichung mittels Lie-Integration ist nur Kenntnis über die Ableitungen der Gleichungen notwendig. Diese können aber immer, bis zu einer beliebig hohen Ordnung, bestimmt werden. Außerdem ist die Differentiation von Gleichungen im Gegensatz zur Integration mittels Computeralgebrasystemen (wie z. B. Mathematica oder Maple) komplett automatisierbar.

Aus d​en oben genannten Gründen w​ird die Lie-Integration besonders i​n der Himmelsmechanik z​ur numerischen Integration d​er Planetenbewegung verwendet, d​a hier Schnelligkeit u​nd Genauigkeit v​on großer Bedeutung s​ind (siehe Lie-Integrator).

Literatur

• Wolfgang Gröbner: Die Lie-Reihen und ihre Anwendungen. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1960, DNB 451675177.
• Rudolf Dvorak, Florian Freistetter, J. Kurths: Chaos and Stability in Planetary Systems. Springer, 2005, ISBN 3-540-28208-4.
• N. Asghari u. a.: Stability of terrestrial planets in the habitable zone of Gl 777 A, HD 72659, Gl 614, 47 Uma and HD 4208. In: Astronomy & Astrophysics. 426/2004, S. 353–365 ISSN 0004-6361.