Lemma von Jones

Das Lemma von Jones ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie, welches auf den US-amerikanischen Mathematiker F. Burton Jones (1910–1999) zurückgeht.[1][2][3] Es liefert ein Kriterium, mit dem sich zeigen lässt, dass ein topologischer Raum kein normaler Raum ist. Die Frage der Normalität eines topologischen Raumes ist wegen des Zusammenhangs mit dem Metrisationsproblem[4][5][6][7][8] bedeutsam, denn ein metrischer Raum ist stets normal.[9]

Formulierung des Resultats

Gegeben seien ein topologischer Raum $X$ und darin eingelagert zwei Unterräume $D_{0}\subseteq X$ und $D_{1}\subseteq X$ , für welche die folgenden Nebenbedingungen erfüllt seien:

$D_{0}$ sei ein abgeschlossener Unterraum von $X$ und bzgl. der Unterraumtopologie diskret.
$D_{1}$ liege dicht in $X$ .
Es sei $|D_{0}|\geq 2^{|D_{1}|}$ .

Dann ist $X$ nicht normal.

Beispiel: Der Niemytzki-Raum

Der Niemytzki-Raum $\Gamma$ , also die abgeschlossene obere Halbebene ${\overline {\mathbb {H} }}\subset {\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ , versehen mit der Niemytzki-Topologie, erfüllt die Voraussetzungen des Lemmas von Jones mit $D_{0}=\mathbb {R} \times \{0\}$ und $D_{1}=({\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} })\cap {\overline {\mathbb {H} }}$ .[10][11]

Literatur

Artikel

F. Burton Jones: Remarks on the Normal Moore Space Metrization Problem. In: R. H. Bing, Ralph J. Bean (Hrsg.): Topology Seminar Wisconsin, 1965 (= Annals of Mathematics Studies. Bd. 60, ISSN 0066-2313). Princeton University Press, Princeton NJ 1966, S. 115–119.

Monographien

James Dugundji: Topology. 8th printing. Allyn and Bacon, Boston MA 1973.
Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
Gregory Naber: Set-theoretic Topology. With Emphasis on Problems from the Theory of Coverings, Zero Dimensionality and Cardinal Invariants. University Microfilms International, Ann Arbor MI 1977, ISBN 0-8357-0257-X.
Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Band 33). 2. überarbeitete Auflage. North-Holland Publishing, Amsterdam / New York / Oxford 1985, ISBN 0-444-87655-3 (MR0831659).
Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.
Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1970.

Einzelnachweise

Jones: Remarks on the Normal Moore Space Metrization Problem. In: Bing, Bean (Hrsg.): Topology Seminar Wisconsin, 1965. 1966, S. 115–119, hier S. 117.
Dugundji: Topology. 1973, S. 144.
Willard: General Topology. 1970, S. 100.
Dugundji: Topology. 1973, S. 193.
Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 127 ff.
Nagata: Modern General Topology. 1985, S. 244 ff.
Schubert: Topologie. 1975, S. 95 ff.
Willard: General Topology. 1970, S. 161.
Schubert: Topologie. 1975, S. 78.
Naber: Set-theoretic Topology. 1977, S. 109–110.
Nagata: Modern General Topology. 1985, S. 83–84.

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[1] Jones: Remarks on the Normal Moore Space Metrization Problem. In: Bing, Bean (Hrsg.): Topology Seminar Wisconsin, 1965. 1966, S. 115–119, hier S. 117.

[2] Dugundji: Topology. 1973, S. 144.

[3] Willard: General Topology. 1970, S. 100.

[4] Dugundji: Topology. 1973, S. 193.

[5] Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 127 ff.

[6] Nagata: Modern General Topology. 1985, S. 244 ff.

[7] Schubert: Topologie. 1975, S. 95 ff.

[8] Willard: General Topology. 1970, S. 161.

[9] Schubert: Topologie. 1975, S. 78.

[10] Naber: Set-theoretic Topology. 1977, S. 109–110.

[11] Nagata: Modern General Topology. 1985, S. 83–84.