Lah-Zahl

Die Lah-Zahlen sind in der Mathematik die Koeffizienten zur gegenseitigen Darstellung von steigenden und fallenden Faktoriellen.

Sie wurden erstmals 1955 von Ivo Lah beschrieben. Es gilt:

${\displaystyle x^{\overline {n}}=\sum _{k=0}^{n}L_{n,k}x^{\underline {k}}}$

Die vorzeichenlosen Lah-Zahlen sind wie folgt definiert:

${\displaystyle L_{n,k}={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}}$[1]

Die vorzeichenbehafteten Lah-Zahlen sind definiert durch

${\displaystyle L_{n,k}=(-1)^{n}{n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}}$

Für die Inversionsformel der steigenden und fallenden Faktoriellen benutzt man die vorzeichenlosen Lah-Zahlen.

Diese haben in der Kombinatorik eine interessante Eigenschaft: Sie beschreiben die Anzahl der linear geordneten ${\displaystyle k}$-Partitionen einer ${\displaystyle n}$-elementigen Menge.

Außerdem gilt:

${\displaystyle L(n,k)=B_{n,k}(1!,2!,3!,4!,\ldots )}$[1]

wobei ${\displaystyle B_{n,k}}$ für die Bell-Polynome steht.

Werte

${\displaystyle _{n}\!\!\diagdown \!\!^{k}}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1
2	2	1
3	6	6	1
4	24	36	12	1
5	120	240	120	20	1
6	720	1800	1200	300	30	1
7	5040	15120	12600	4200	630	42	1
8	40320	141120	141120	58800	11760	1176	56	1
9	362880	1451520	1693440	846720	211680	28224	2016	72	1

(Folge A008297 in OEIS)

Einzelnachweise

1. Eric W. Weisstein: Lah Numbers auf MathWorld